## **第五章**
## **三角函数**
## $\S 5.7 $ **三角函数的应用**
王瑞
长丰一中
简谐运动
简谐运动，即是最基本也是最简单的一种机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。
$$
F=-kx
$$
简谐运动
简谐运动的位移与时间的关系可以用函数
$$
y = A\sin(\omega t+\varphi ),t\in [0,+\infty),A>0,\omega >0
$$
-
其中$A$表示简谐运动的振幅，它是物体离开平衡位置的最大距离。
-
这个简谐运动的周期是$T=\frac{2\pi}{\omega}$，它是物体往返运动一次所需要的时间。
-
这个简谐运动的频率$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$，它是物体在单位时间内往复运动的次数。
-
$ \omega t+\varphi$ 称为相位，$t=0$时的相位$\varphi$称为初相。
声音
声音是振动产生的声波，通过介质（气体、固体、液体）传播并能被人或动物听觉器官所感知的波动现象。
声音是一种波动，当演奏乐器、拍打一扇门或者敲击桌面时，声音的振动会引起介质——空气分子有节奏的振动，使周围的空气产生疏密变化，形成疏密相间的纵波，这就产生了声波，这种现象会一直延续到振动消失为止。
声音
声音总可以被分解为不同频率不同强度正弦波的叠加。
纯音的数学模型是函数$y=A\sin\omega t$，每一个音都是由多种纯音合成的。
声音
声音的四要素：
-
音调：与声波的振动频率相关
-
响度：与声波的振幅相关
-
音长：与声波的振幅相关
-
音色：与声波的波形相关
音乐与数学
所谓音乐，就是按照某种节奏依次连接不同频率的声音。
而人耳是一种非常灵敏的机械波感受器，并不是随便两个声音连在一起就能觉得好听。在绝大多数情况下，如果两个声音的频率接近简单的整数比，那么它们接连奏响就比较好听。
最简单的比例当然是$1:1$和$1:2$，但这未免太单调了，我们想要在两者之间找到广阔的天地。
音乐与数学
乐音的音高，是由声波的频率所决定的，而频率又由乐器的弦长所决定。
如果一个音的频率为$f$，另一个音的频率是$2f$的话，那么，第二个声音就是第一个声音的“纯八度”高音。
同理，如果一个音的频率为$\frac{f}{2}$，则这个声音就是第一个声音的“纯八度”低音。
音乐与数学
一件圆径固定，长度固定的发声器所发出的声音是一个定值，如果另一件圆径相同发声器的长度是这件发声器长度的一半的话，那么，另一件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的高音。
同理，如果第三件发声器的长度是原来发声器长度的二倍，那么，第三件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的低音。
音乐与数学
五度相生律
先取某个长度的琴弦作为基准，当作C，剪掉C的1/3，得到了G；然后延长G的1/3，得到了D；再剪掉D的1/3，得到了A；再延长A的1/3，得到了E；再剪掉E的1/3，就得到了B，最后把C延长一半， 就得到了F。
音乐与数学
五度相生律
| 音阶 |
C |
D |
E |
F |
G |
A |
B |
C |
| 比值 |
1 |
9/8 |
9/8 |
256/243 |
9/8 |
9/8 |
9/8 |
256/243 |
音乐与数学
三分损益法
相传三分损益法为管仲所发明。
司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”
音乐与数学
三分损益法
取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为“宫音”。然后将81乘上2/3，就得到54单位，定为“徵音”。将徵音的竹管长度54乘上4/3，得到72单位，定为“商音”。
将商音72乘2/3，得48单位，为“羽音”。羽音48乘4/3，得64单位，为“角音”。
而这宫、商、角、徵、羽五个音高，被称为中国的五音。
中国古代以“三分损益法”定律，将十二个音逐个导出，统称为五音十二律。
音乐与数学
十二平均律
五音十二律让人们养成了将二倍的频率分成十二份的习惯，那么在最理想的条件下，就应该将这十二份构成等比数列，这个比值就是
$$
2^{\frac{1}{12}}
$$
万历十二年，东方百科艺术全书式的人物，朱载堉，用算盘精确计算出了$
2^{\frac{1}{12}}
$的25位小数，推出了全新的“十二平均律”。