## **第五章**
## **三角函数**
### $\S 5.6$ **函数$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $**
王瑞
长丰一中
圆周运动
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具。
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。
你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
圆周运动
匀速圆周运动，是指物体以等速率沿着圆周作运动。在这种情况下速度的大小保持不变，但方向不断的改变。
角速度是在物理学中定义为角位移的变化率，描述物体转动時，在单位时间内转过多少角度以及转动方向的向量。
圆周运动
设$t=0$时，盛水筒$M$位于点$P_0$，以$Ox$为始边，$OP_0$为终边的角为$\varphi$。
$t$秒后运动到点$P(x,y)$，于是以$Ox$为始边，$OP$为终边的角为$\omega t+\varphi $，并且有
$$
y=r\sin(\omega t+\varphi ) \\
H = r\sin(\omega t+\varphi )+h
$$
圆周运动
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如
$$
y=A\sin(\omega x+\varphi ),( A>0,\omega >0)
$$
的函数。
显然，这个函数由参数$A,\omega,\varphi$所确定，因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质。
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
探索$\varphi$对$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $图象的影响。
取$A=\omega=1$
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
$y=\sin(x+\varphi)$与$y=\sin x$的关系
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
把正弦曲线$y=\sin x$上的所有点向左(当$\varphi >0$时)或向右(当$\varphi < 0$时)平移$|\varphi|$个单位长度，就得到函数$y=\sin(x+\varphi) $的图象.
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
探索$\omega$对$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $图象的影响。
取$A=1,\varphi=\frac{\pi}{6} $
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
$y=\sin(x+\frac{\pi}{6} )$与$y=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$的关系
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
函数$y=\sin(\omega x+\varphi)$的周期是$\frac{2\pi}{\omega} $。
把$y=\sin(\omega x)$图象上所有点的横坐标缩短(当$\omega >1$时)或伸长(当$0 < \omega < 1$时)到原来的$\frac{1}{\omega} $倍(纵坐标不变)，就得到$y=\sin(\omega x+\varphi)$的图象。
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
探索$A(A>0)$对$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $图象的影响。
取$\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{6} $
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
一般地，函数$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $的图象，可以看作把$y=\sin(\omega x+\varphi ) $图象上所有点的纵坐标伸长(当$A>1$时)或缩短(当$0< A< 1$时)到原来的$A$倍(横坐标不变)。
从而，函数$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $的值域是$[-A,A]$最大值是$A$，最小值是$-A$。
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $
函数$y=A\sin(\omega x+\varphi ),(A>0,\omega>0) $的图象：
-
画出$y=\sin x$的图象。
-
把正弦曲线向左（或右）平移$|\varphi|$个单位长度，得到函数$y=\sin (x+\varphi) $的图象。
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把曲线上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}$倍（纵坐标不变），得到$y=\sin(\omega x+\varphi )$的图象。
-
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的$A$倍（横坐标不变），得到$y=A\sin(\omega x+\varphi )$的图象。
$y=A\sin(\omega x+\varphi ) $