## **第五章**
## **三角函数**
### $\S 5.5$ **三角恒等变换**
王瑞
长丰一中
两角差的余弦公式
$\cos 15^{\circ}$如何求其准确的值？
两角差的余弦公式
$\cos 15^{\circ}$如何求其准确的值？
$ 15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ} $
$\cos 15^{\circ}= \cos(45^{\circ}-30^{\circ} )=?$
两角差的余弦公式
任意角$\alpha$与$\beta$的差或者和的三角函数与$\alpha,\beta$的三角函数会有什么关系呢？
$\cos(\alpha-\beta )=? $
两角差的余弦公式
探究角$\alpha-\beta $在坐标系中的位置。
两角差的余弦公式
平面上任意两点间距离公式：
$$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $$
$$P_1P_2=? $$
教材P216页
两角差的余弦公式
平面上任意两点间距离公式：
$$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $$
$$P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} $$
两角差的余弦公式
探究$\cos(\alpha-\beta)$与角$\alpha,\beta$的正弦，余弦之间的关系。
两角差的余弦公式
$$A_1P_1=AP $$
$$
[\cos(\alpha-\beta)-1 ]^2+[\sin(\alpha-\beta)-0 ]^2 \\= (\cos\alpha-\cos\beta )^2+(\sin\alpha-\sin\beta )^2
$$
$$
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$$
两角差的余弦公式
对于任意角$\alpha,\beta$都有
$$
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$$
该公式称为差角的余弦公式，简记为$C_{(\alpha-\beta) }$。
两角差的余弦公式
使用公式$C_{(\alpha-\beta) }$求$\cos15^{\circ}$的值
两角差的余弦公式
例1.使用公式$C_{(\alpha-\beta) }$证明：
-
$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha $
-
$$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $$
两角差的余弦公式
例2.已知$\sin\alpha=\frac{4}{5},\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi),\cos\beta=-\frac{5}{13},\beta$是第三象限角
求$\cos(\alpha-\beta)$
两角差的余弦公式
练习1. 证明：
-
$$\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sin\alpha $$
-
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha $
两角差的余弦公式
练习2. 已知$\alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$
且$\sin\alpha=\frac{4}{5},\cos(\alpha+\beta)=-\frac{16}{65} $
求$\cos\beta $的值
两角差的余弦公式
总结
-
$$P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} $$
-
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$