## **第五章**
## **三角函数**
### $\S 5.4$ **三角函数的图象与性质**
王瑞
长丰一中
三角函数
$$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $$
$$y=\cos x,x\in\mathbf{R} $$
如何研究正弦函数和余弦函数的性质？
三角函数
$$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $$
$$y=\cos x,x\in\mathbf{R} $$
画出正弦函数和余弦函数的图象。
三角函数
$$\sin(x\pm2\pi)=\sin x,\cos(x\pm2\pi)=\cos x $$
这说明，自变量每增加(减少)$2\pi$，正弦函数值、余弦函数值将重复出现。
利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程。
正弦函数的图象
下面先研究函数$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $的图象，从画函数$y=\sin x,x\in[0,2\pi] $的图象开始。
从区间$[0,2\pi]$任取一个数$x_0$，如何确定$\sin x_0$的值，并画出点$(x_0,\sin x_0) $？
正弦函数的图象
从三角函数的定义出发，构建直角坐标系，如下图所示：
正弦函数的图象
若把区间$[0,2\pi]$均分成12等分，则可以列表：
正弦函数的图象
| $x_0$ |
$0$ |
$\frac{\pi}{6} $ |
$\frac{\pi}{3} $ |
$\frac{\pi}{2} $ |
$\frac{4\pi}{6} $ |
$\frac{5\pi}{6} $ |
$\pi $ |
$\frac{7\pi}{6} $ |
$\frac{8\pi}{6} $ |
$\frac{9\pi}{6} $ |
$\frac{10\pi}{6} $ |
$\frac{11\pi}{6} $ |
$2\pi $ |
| $\sin x_0$ |
$ 0$ |
$\frac{1}{2} $ |
$\frac{\sqrt{3}}{2} $ |
$1$ |
$\frac{\sqrt{3}}{2} $ |
$\frac{1}{2} $ |
$0$ |
$-\frac{1}{2} $ |
$-\frac{\sqrt{3}}{2} $ |
$-1$ |
$-\frac{\sqrt{3}}{2} $ |
$-\frac{1}{2} $ |
$0$ |
正弦函数的图象
在区间$[0,2\pi]$上取到足够多的值而画出足够多的点$T_0(x_0,\sin x_0) $，将这些点用光滑的曲线连接起来可得到$y=\sin x$的图象：
正弦函数的图象
如何根据$y=\sin x,x\in[0,2\pi] $的图象得到$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $的图象？
正弦函数的图象
由公式一可得，函数$$y=\sin x,x\in[2k\pi,2k\pi+2\pi],k\in\mathbf{Z} $$的图象与
$$y=\sin x,x\in[0,2\pi] $$的图象形状一致。
正弦函数的图象
因此将$y=\sin x,x\in[0,2\pi] $的图象不断左右平移$2\pi$个单位长度，可以得到正弦函数$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $的图象。
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
正弦函数的图象
在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
正弦函数的图象
| $x$ |
$0$ |
$\frac{\pi}{2} $ |
$\pi$ |
$\frac{3\pi}{2}$ |
$2\pi$ |
| $\sin x$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$-1$ |
$0$ |
描出这五个点，函数$y=\sin x,x\in[0,2\pi] $的图象形状就大致确定了。
在精确度要求不高时，先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。
余弦函数的图象
如何利用正弦函数和余弦函数的关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
余弦函数的图象
$$\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos\alpha $$
$$y=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),x\in\mathbf{R} $$
函数$y=\sin(x+\frac{\pi}{2}),x\in\mathbf{R}$可以通过正弦函数$y=\sin x,x\in\mathbf{R} $向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度得到。
余弦函数的图象
通过平移正弦函数得到余弦函数的图象：
余弦函数$y=\cos x,x\in\mathbf{R}$的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。
余弦函数的图象
使用类似的“五点法”确定余弦函数的五个关键点：
| $x$ |
$-\pi$ |
$-\frac{\pi}{2} $ |
$0$ |
$\frac{\pi}{2}$ |
$\pi$ |
| $\cos x$ |
|
|
|
|
|
三角函数的图象
例1 画出下列函数的简图：
-
$y=1+\sin x,x\in[0,2\pi] $
-
$y=-\cos x, x\in[0,2\pi]$
三角函数的图象
| $x$ |
$0$ |
$\frac{\pi}{2} $ |
$\pi$ |
$\frac{3\pi}{2}$ |
$2\pi$ |
| $\sin x$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$-1$ |
$0$ |
| $1+\sin x$ |
$1$ |
$2$ |
$1$ |
$0$ |
$1$ |
三角函数的图象
| $x$ |
$0$ |
$\frac{\pi}{2} $ |
$\pi$ |
$\frac{3\pi}{2}$ |
$2\pi$ |
| $\cos x$ |
|
|
|
|
|
| $-\cos x$ |
|
|
|
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|
三角函数的图象
例2 画出下列函数的简图：
-
$y=-\sin x,x\in[-\pi,\pi] $
-
$y=2-\cos x, x\in[-\pi,\pi]$