## **第五章**
## **三角函数**
### $\S 5.3$ **诱导公式**
王瑞
长丰一中
三角函数的对称性
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。
我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质。
由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。
探究
作$P_1$关于原点的对称点$P_2$，以$OP_2$为终边的角$\beta$与角$\alpha$有什么关系？
角$\beta,\alpha$的三角函数值之间有什么关系
探究
设$P_1,P_2$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，由对称性和三角函数的定义：
$$x_1=-x_2,y_1=-y_2,\alpha+\pi=\beta $$
$$\sin\alpha = y_1=-y_2=-\sin\beta $$
$$\cos\alpha = x_1=-x_2=-\cos\beta $$
$$\tan\alpha = \frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\tan\beta $$
诱导公式
公式2
-
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $
诱导公式
公式2
-
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $
$$\cos 225^{\circ}=? $$
探究
作$P_1$关于$x$轴的对称点$P_3$，则以$OP_3$为终边的角为$\gamma$。角$\gamma,\alpha$的三角函数值之间有什么关系？
探究
设$P_1,P_3$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_3,y_3)$，由对称性和三角函数的定义：
$$x_1=x_3,y_1=-y_3,\alpha =-\gamma $$
$$\sin\alpha = y_1=-y_3=-\sin\gamma $$
$$\cos\alpha = x_1= x_3= \cos\gamma $$
$$\tan\alpha = \frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_3}{x_3}=-\tan\gamma $$
诱导公式
公式3
-
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha $
-
$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha $
诱导公式
公式3
-
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha $
-
$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha $
$$\sin(-\frac{7\pi}{6})=? $$
$$\tan(-1140^{\circ})=? $$
探究
作$P_1$关于$y$轴的对称点$P_4$，则以$OP_4$为终边的角为$\theta $。角$\theta,\alpha$的三角函数值之间有什么关系？
探究
设$P_1,P_4$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_4,y_4)$，由对称性和三角函数的定义：
$$x_1=-x_4,y_1=y_4,\alpha+\theta=\pi $$
$$\sin\alpha = y_1=y_4=\sin\theta $$
$$\cos\alpha = x_1= -x_4= \cos\theta $$
$$\tan\alpha = \frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_4}{x_4}=-\tan\theta $$
诱导公式
公式4
-
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha $
-
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $
诱导公式
公式4
-
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha $
-
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $
$$\sin(\frac{8\pi}{3})=? $$
$$\sin(-\frac{16\pi}{3})=? $$
诱导公式
-
公式1
-
$\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha $
-
$\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha $
-
$\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha $
-
公式2
-
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $
-
公式3
-
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha $
-
$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha $
-
公式4
-
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha $
-
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $
诱导公式
公式一~四可用下面的话来概括：
$\alpha+2k\pi,-\alpha,\pi\pm\alpha$的三角函数值，等于角$\alpha $的同名函数值，
前面加上一个把$\alpha $看成锐角时原函数值的符号。
函数名不变 符号看象限
诱导公式
使用诱导公式求下列式子的值：
-
$\cos 225^{\circ} $
-
$\sin\frac{8\pi}{3} $
-
$\sin(-\frac{16\pi}{3}) $
-
$\tan(-2040^{\circ}) $
诱导公式
化简
$$
\frac{\cos(\alpha+\pi )\sin(\alpha+2\pi) }{\tan(-\alpha-\pi)\cos(\alpha-\pi ) }
$$
诱导公式
已知$\cos(\pi-\alpha)=-\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第一象限角，则$\sin(-2\pi-\alpha)$的值是？
诱导公式
已知$\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos(\alpha+\frac{5\pi}{6})=$
探究
作$P_1$关于$y=x$的对称点$P_5$，则以$OP_5$为终边的角为$\beta $。角$\beta,\alpha$的三角函数值之间有什么关系？
探究
设$P_1,P_5$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_5,y_5)$，由对称性和三角函数的定义：
$$x_1=y_5,y_1=x_5,\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha $$
$$\sin\alpha = y_1=x_5=\cos\beta $$
$$\cos\alpha = x_1= y_5= \sin\beta $$
$$\tan\alpha = \frac{y_1}{x_1}=\frac{x_5}{y_5}=\frac{1}{\tan\beta}(\alpha\neq\frac{k\pi}{2}) $$
诱导公式
公式5
-
$$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha $$
-
$$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha $$
探究
作$P_5$关于$y$轴的对称点$P_6$，则以$OP_6$为终边的角为$\gamma $。角$\gamma,\alpha$的三角函数值之间有什么关系？
探究
设$P_1,P_6$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_6,y_6)$，由对称性和三角函数的定义：
$$x_1=y_6,y_1=-x_6,\gamma=\frac{\pi}{2}+\alpha $$
$$\sin\alpha = y_1=-x_6=-\cos\gamma $$
$$\cos\alpha = x_1= y_6= \sin\gamma $$
$$\tan\alpha = \frac{y_1}{x_1}=-\frac{x_6}{y_6}=-\frac{1}{\tan\gamma}(\gamma\neq\frac{k\pi}{2}) $$
诱导公式
公式6
-
$$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=+\cos\alpha $$
-
$$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha $$
诱导公式
-
公式1
-
$\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha $
-
$\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha $
-
$\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha $
-
公式3
-
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha $
-
$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha $
-
公式5
-
$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha $
-
$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha $
-
公式2
-
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $
-
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $
-
公式4
-
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha $
-
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $
-
$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $
-
公式6
-
$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha $
-
$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha $
诱导公式
公式一~公式六都叫诱导公式。
$$k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\in\mathbf{Z})\text{的三角函数值} $$
-
当$k$为偶数时，等于同名的三角函数值，前面加上一个把$\alpha$看作锐角时的原三角函数值的符号。
-
当$k$为奇数时，等于异名的三角函数值，前面加上一个把$\alpha$看作锐角时的原三角函数值的符号。
诱导公式
证明：
-
$$\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\cos\alpha $$
-
$$\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=+\sin\alpha $$
诱导公式
化简：
$$
\frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha) }{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha) }
$$
诱导公式
已知$\sin(53^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{5},-270^{\circ}< \alpha < -90^{\circ}$，求$\sin(37^{\circ}+\alpha) $