圆周运动
圆周运动是一种常见的运动，如何刻画一个做圆周运动的点的位置变化规律？
圆周运动
如下图所示，单位圆$\odot O$上的点$P$以$A$为起点做逆时针方向旋转，建立一个模型，刻画$P$的变化情况。圆周运动
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题。以单位圆的圆心$O$为原点，以射线$OA$为$x$轴的非负半轴，建立直角坐标系。 点$A$的坐标为$(1,0)$，点𝑃的坐标为$(x,y)$，射线$PA$从$x$轴的非负半轴开始，绕点$O$按逆时针方向旋转角$\alpha$，终止位置为$OP$。
圆周运动
圆周运动
$\alpha=\frac{\pi}{6}$时，点$P$的坐标是多少？
$\alpha=\frac{\pi}{2}$时，点$P$的坐标是多少？
当角$\alpha$确定时，对应的$P$点坐标唯一确定么？
三角函数的概念
一般地，任意给定一个角$\alpha\in\mathbb{R}$，它的终边$OP$与单位圆交点$P$的坐标，无论是横坐标$x$还是纵坐标$y$，都是唯一确定的。所以，点$P$的横坐标$x$，纵坐标$y$都是角$\alpha$的函数，下面给出这些函数的定义。
三角函数的概念
设$\alpha$是一个任意角，$\alpha\in\mathbb{R}$。它的终边$OP$与单位圆交于点$P(x,y)$。-
把点$P$的纵坐标$y$叫做$\alpha$的正弦函数，记作$\sin\alpha$，
即$y=\sin\alpha$。 - 把点$P$的横坐标$x$叫做$\alpha$的余弦函数，记作$\cos\alpha$，即$x=\cos\alpha$。
- 把点$P$的纵坐标与横坐标的比值$\frac{y}{x} $叫做$\alpha$的正切，记作$\tan\alpha$，即 $\frac{y}{x}=\tan\alpha(x\neq0) $
三角函数的概念
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： $$\text{正弦函数}\quad y=\sin x,x\in\mathbb{R} $$ $$\text{余弦函数}\quad y=\cos x,x\in\mathbb{R} $$ $$\text{正切函数}\quad y=\tan x,x\in\{x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in \mathbb{Z}) \} $$
三角函数的概念
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
设$x\in (0,\frac{\pi}{2}) $, 把按照锐角三角函数定义求得的锐角$x$的正弦记为$z_1$，并把按照本节三角函数定义求得的正弦记为$y_1$，$z_1$与$y_1$相等吗？
对于余弦、正切也有相同的结论吗？
三角函数的概念
例1 求$\frac{5\pi}{3}$的正弦，余弦和正切值。三角函数的概念
例2 设$\alpha$是任意角，它的终边上任意一点$P$的坐标为$(x,y)$，点$P$与原点的距离为$r$。求证：$$\sin\alpha=\frac{y}{r},\cos\alpha=\frac{x}{r},\tan\alpha=\frac{y}{x} $$
三角函数的概念
三角函数的概念
| 三角函数 | 定义域 |
|---|---|
| $\sin x$ | |
| $\cos x$ | |
| $\tan x$ |
三角函数的概念
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三角函数的概念
例3 求证： $$\text{角}\theta\text{是第三象限角}\iff \begin{cases} \sin\theta < 0 \\ \tan\theta > 0 \end{cases} $$
三角函数的概念
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等。
公式1 对于$k\in\mathbb{Z}$
- $\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha $
- $\cos(\alpha+k\cdot2\pi)=\cos\alpha $
- $\tan(\alpha+k\cdot2\pi)=\tan\alpha $
三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角$\alpha$的终边每绕原点转一周，函数值将重复出现。
三角函数的概念
例4 判断下列三角函数的符号
- $\cos 250^{\circ} $
- $\sin(-\frac{\pi}{4} ) $
- $\tan(-672^{\circ})$
- $\tan(3\pi) $
同角三角函数的关系
回忆公式一？
同角三角函数的关系
公式1 对于$k\in\mathbb{Z}$
- $\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha $
- $\cos(\alpha+k\cdot2\pi)=\cos\alpha $
- $\tan(\alpha+k\cdot2\pi)=\tan\alpha $
同角三角函数的关系
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系。
同角三角函数的关系
同角三角函数的关系
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$ $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha,\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$$ 同一个角$\alpha$的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角$\alpha$的正切。同角三角函数的关系
- 已知$\sin\alpha=-\frac{3}{5} $，求$\cos\alpha,\tan\alpha$
- 已知$\cos\alpha=-\frac{8}{17} $，求$\sin\alpha,\tan\alpha$
同角三角函数的关系
已知$\sin\alpha +3\cos\alpha=0 $，求$\sin\alpha,\cos\alpha$
同角三角函数的关系
已知$\tan\alpha=2$，求下列代数式的值： $$\frac{4\sin\alpha -2\cos\alpha}{5\sin\alpha +3\cos\alpha}= $$ $$\frac{1}{4}\sin^2\alpha+\frac{1}{3}\sin\alpha\cos\alpha+\frac{1}{2}\cos^2\alpha= $$
同角三角函数的关系
求证： $$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x} $$
同角三角函数的关系
求证： $$\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$ $$\sin^2x-\cos^2x=\sin^4x-\cos^4x $$
同角三角函数的关系
求证： $$\frac{1+2\sin x\cos x}{\sin^2x-\cos^2x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1} $$
同角三角函数的关系
已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5},0< \alpha< \pi$，求
- $\sin\alpha\cos\alpha $
- $\sin\alpha-\cos\alpha $