## **第五章**
## **三角函数**
### $\S 5.1$ **任意角和弧度制**
王瑞
长丰一中
角的概念
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从静态角度来看，角是由一个点出发的两条射线组成的图形。
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从动态角度来看，角是一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，由这两条射线组成的图形。
角的概念
由初中知识可知，射线$OA$绕端点$O$按逆时针方向旋转一周回到起始位置，
在这个过程中可以得到$0^{\circ}\sim360^{\circ} $范围内的角，如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了。
但现实生活中随处可见超出$0^{\circ}\sim360^{\circ} $范围的角。
例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称。这里不仅角度范围超出了360度，而且旋转的方向也不相同。
任意角
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做
正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。如果$\alpha$是零角，那么$\alpha=0^{\circ} $。
任意角
这样，我们就把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角。
任意角
设角$\alpha$由射线$OA$绕端点$O$旋转而成，角$\beta$由射线$O'A'$绕端点$O'$旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称$\alpha=\beta$。
设$\alpha,\beta$是任意两个角，我们规定，把角$\alpha$的终边旋转角$\beta$，这时终边对应的角就是$\alpha+\beta$。
任意角
对于实数$a,b$的减法，$a-b= a+(-b)$
类似的，引入任意角$\alpha$的相反角，我们把射线$OA$绕端点$O$按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角$\alpha$的相反角记为$-\alpha$。
$$ \alpha- \beta = \alpha+(-\beta)$$
任意角
我们通常在直角坐标系内讨论角。
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与$x$轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
如果角的终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何一个象限。
任意角
将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的终边与它对应。
但是反之，对于直角坐标系内的任意一条射线$OB$，以它为终边的角是唯一的么？如果不唯一，这些角有什么关系？
任意角
所有与角$\alpha$终边相同的角，连同角$\alpha$在内，可以构成一个集合
$$\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot 360^{\circ},k\in\mathbb{Z} \}$$
即任一与角$\alpha$终边相同的角，都可以表示成角$\alpha$与数个周角的和。
任意角
例1 在$0^{\circ}\sim360^{\circ} $范围内，找出与$-950^{\circ} 12'$角终边相同的角，并判定它是第几象限的角。
任意角
例2 写出终边在$y$轴上的角的集合，和终边在$x$轴上的角的集合。
任意角
例3 写出终边在直线$y=x$的角的集合$S$，$S$中满足不等式$-360^{\circ}\leqslant\beta< 720^{\circ}$的元素$\beta$有哪些？
任意角
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若角$2\alpha$的终边与$240^{\circ}$的终边相同，则角$\alpha$可以表示为？
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若角$\alpha$是第四象限角，则角$\frac{\alpha}{2}$的终边在哪个象限？
弧度制
度量长度有哪些单位？度量质量有哪些单位？
国际单位制：米；英制：英尺；天文：光年；航海：海里
国际单位制：克；英制：磅；市制：斤
弧度制
角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的$\frac{1}{360}$
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制起源于古巴比伦人对圆周的分割。
弧度制
度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制。
不同的单位制能给解决问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
弧度制
如上图所示，射线$OA$绕端点$O$旋转到$OB$形成角$\alpha$，在旋转过程中，射线$OA$上的一点$P$(不同于点$O$)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角$\alpha$。
$$\alpha=n^{\circ},OP=r $$
$$l=\overset{\LARGE{\frown}}{PP_1}=\frac{n\pi r}{180} $$
$$\frac{l}{r} =n\frac{\pi}{180} $$
弧度制
可以发现，圆心角$\alpha$所对应的弧长与半径的比值只与$\alpha$的大小有关。也就是说，这个比值随角$\alpha$的确定而唯一确定。
这启发我们可以利用圆弧长与半径的关系度量圆心角。
弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度。
弧度制
根据上述规定，在半径为$r$的圆中，弧长为$l$的弧所对的圆心角为$\alpha$ rad。
$$|\alpha|=\frac{l}{r} $$
其中，$\alpha$的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于$2\pi$或小于$-2\pi$的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
弧度制
$$1^{\circ}=?\quad\text{rad} $$
$$1\quad\text{rad}=?^{\circ} $$
弧度制
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$\pi\quad\text{rad}=180^{\circ} $
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$1\quad\text{rad}=\frac{180}{\pi} ^{\circ} $
-
$\frac{\pi}{180} \quad\text{rad}=1^{\circ}$
弧度制
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把$67^{\circ}30'$转化为弧度制。
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$-630^{\circ}$转化为弧度是多少？
弧度制
$\alpha=15^{\circ},\beta=\frac{\pi}{10},\gamma=1,\theta=105^{\circ},\phi=\frac{7\pi}{12} $
比较上述几个角的大小。
弧度制
$$\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot 360^{\circ},k\in\mathbb{Z} \}$$
在弧度制下可以写成什么？
弧度制
$$\{\beta|\beta=\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z} \}$$
弧度制
| 角度 |
$0^{\circ}$ |
$30^{\circ}$ |
$45^{\circ}$ |
$60^{\circ}$ |
$90^{\circ}$ |
$120^{\circ}$ |
| 弧度 |
|
|
|
|
|
|
| 角度 |
$135^{\circ}$ |
$150^{\circ}$ |
$180^{\circ}$ |
$270^{\circ}$ |
$360^{\circ}$ |
|
| 弧度 |
|
|
|
|
|
|
弧度制
| 角度 |
$0^{\circ}$ |
$30^{\circ}$ |
$45^{\circ}$ |
$60^{\circ}$ |
$90^{\circ}$ |
$120^{\circ}$ |
| 弧度 |
0 |
$\frac{\pi}{6}$ |
$\frac{\pi}{4}$ |
$\frac{\pi}{3}$ |
$\frac{\pi}{2}$ |
$\frac{2\pi}{3}$ |
| 角度 |
$135^{\circ}$ |
$150^{\circ}$ |
$180^{\circ}$ |
$270^{\circ}$ |
$360^{\circ}$ |
|
| 弧度 |
$\frac{3\pi}{4}$ |
$\frac{5\pi}{6}$ |
$\pi$ |
$\frac{3\pi}{2}$ |
$2\pi$ |
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弧度制
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集$\mathbb{R} $之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。
弧度制
利用弧度制证明下列关于扇形的公式，其中$R$是圆的半径，$\alpha(0< \alpha< 2\pi) $为圆心角，$l$是扇形的弧长，$S$是扇形的面积。
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$l=\alpha R$
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$S=\frac{1}{2}\alpha R^2 $
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$S=\frac{1}{2}lR $
弧度制
已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿。
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当大轮转动一周时，求小轮转动的角度
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如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？