函数的零点
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。例如，方程$x^2-5x+6=0$的两个根是$x_1=2,x_2=3$。相应的函数$y=x^2-5x+6$的零点就是$2$和$3$。
二次函数$y=x^2-5x+6$与$x$轴的公共点为$(2,0),(3,0)$，其横坐标就是函数的零点。
函数的零点
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程， 知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。像$\text{ln}x+2x-6=0$这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
函数的零点
与二次函数的零点一样，对于一般函数$y=f(x) $，我们把使$f(x)=0 $的实数$x$叫做函数$y= f (x)$的零点。这样函数$y= f (x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数解，也就是函数$y= f (x)$的图像与$x$轴的公共点的横坐标。
函数的零点
函数$y= f (x)$的零点 $\iff$ 方程$f(x)=0$的实数解$\iff$函数$y= f (x)$的图像与$x$轴的公共点的横坐标函数的零点
| 函数$y=f(x)$ | 方程$f(x)=0$的根 | 函数$f(x)$零点 | $f(x)$图象与$x$轴的公共点 |
|---|---|---|---|
| $y=x^2-3x+2$ | |||
| $y=x+2$ | |||
| $y=x^2-2x+3$ | |||
| $y=lgx$ | |||
| $y=3^x-1$ |
函数的零点
| 函数$y=f(x)$ | 方程$f(x)=0$的根 | 函数$f(x)$零点 | $f(x)$图象与$x$轴的公共点 |
|---|---|---|---|
| $y=x^2-3x+2$ | $x_1=1,x_2=2 $ | $1,2$ | $(1,0),(2,0) $ |
| $y=x+2$ | $x=-2$ | $-2$ | $(-2,0)$ |
| $y=x^2-2x+3$ | 无实数根 | 无零点 | 无公共点 |
| $y=\text{lg}x$ | $x=1 $ | $1$ | $(1,0) $ |
| $y=3^x-1$ | $x=0 $ | $0 $ | $(0,0) $ |
函数零点存在定理
观察函数$f(x)=x^2-2x-3 $的图象，发现在零点附近的图象有什么特点？函数零点存在定理
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”$x$轴。函数在端点$x=2$和$x =4$的取值异号， 即$f(2) f(4)< 0$，函数$f(x)=x^2-2x-3$在区间$(2, 4)$内有零点$x =3$，它是方程$x^2-2x-3=0$的一个根。
同样地，$f (-2) f (0)< 0$，函数在$(-2,0)$内有零点$x=-1$，它是方程的另一个根。
函数零点存在定理
如果函数$y = f (x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f (a) f (b)< 0$ ，那么函数$y = f (x)$在区间$(a,b)$内有零点。即存在$c\in(a,b)$，使得$f (c) =0$，这个$c$也就是方程$f (x) =0$的解。
函数零点存在定理
判断下列命题是否正确？- 对于函数$y=x^{-1}$，在区间$(-1,1)$上，有$f(-1)\cdot f(1)< 0$，故函数在$(-1,1)$内有零点。
- 若函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内有零点，则$f(a)·f(b)< 0$。
- 若函数$y=f(x)$的图象在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)< 0$，则函数$f(x)$在$(a,b)$内有1个零点。
函数零点存在定理
函数零点存在定理
求方程$\text{ln}x+2x-6=0$的实数解的个数。
函数零点存在定理
构造函数$f(x)=\text{ln}x+2x-6$，列表并画出函数的图象。| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -4 | -1.3 | 1.09 | 3.38 | 5.60 | 7.79 | 9.94 | 12.07 |
函数零点存在定理
函数零点存在定理
由图表可知，$f(2)< 0,f(3)> 0,f(2)f(3)< 0$，则由函数零点存在定理，函数$f(x)=\text{ln}x+2x-6 $在区间$(2,3)$上存在至少一个零点。同时可以证明该函数$f(x)$在定义域上是单调递增的，所以它只有一个零点。
即相应的方程$\text{ln}x+2x-6=0$只有一个实数解。
函数零点存在定理
方法2$\text{ln}x+2x-6=0\iff \text{ln}x=-2x+6$ $$\iff \begin{cases} y=\text{ln} x \\ y=-2x+6 \end{cases} $$ 满足方程$\text{ln}x+2x-6=0$的解等价于函数$y=\text{ln} x$和$y=-2x+6$的交点的横坐标，即方程解的个数等于交点的个数。
函数零点存在定理
函数零点存在定理
方程$3x+m=0$的根在区间$(-1,0)$内，求$m$的范围。函数零点存在定理
方法1该方程的根就是$x=-\frac{m}{3}\in(-1,0)$ $$-1< -\frac{m}{3} < 0,0< m< 3 $$
函数零点存在定理
方法2转化为函数的零点问题，方程$3x+m=0$的根等价于函数$f(x)=3x+m$的零点在$(-1,0)$内。
根据零点存在定理 $$f(-1)f(0)< 0,(m-3)m< 0, 0< m< 3 $$
函数零点存在定理
方法3函数$f(x)=3x+m$是由函数$f(x)=3x$平移得到的，结合图象判断。
函数零点存在定理
方法4转换为方程组的解： $$3x+m=0 \iff \begin{cases} y= -3x \\ y= m \end{cases} $$ 该方程组的解$x\in(-1,0) $
函数零点存在定理
方法4函数$y=-3x$和$y=m$的交点
函数零点存在定理
求方程$2^{|x|}=2-x$的解的个数。函数零点存在定理
函数零点存在定理
函数$y=f(x)-g(x)$的零点$\iff$方程$f(x)-g(x)=0 $的解
$\iff$方程$f(x)=g(x) $的解
$\iff$函数$f(x)$与$g(x)$图象的交点
函数零点存在定理
函数$f(x)=x^2-2|x|+a-1$有四个不同的零点，求实数$a$的取值范围。函数零点存在定理
已知$m\in R,f(x)=m(x^2-1)+x-a$恒有零点，求实数$a$的取值范围。二分法
在上一节的学习中，我们已经知道，方程$\text{ln}x+2x-6=0$的实数根$x_0\in(2,3) $，即函数在区间$(2,3)$内存在一个零点。进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
二分法
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。
二分法
二分法
对于在区间$[a,b]$上连续不断且$f(a)\cdot f(b)< 0$的函数$y = f (x)$，通过不断地把函数$f (x)$的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法。二分法
二分法的步骤：- 确定区间$[a,b]$，验证$f(a)\cdot f(b)< 0$，给定精确度$\epsilon$。
- 求区间$(a,b)$的中点$c$，并计算$f(c)$
-
- 若$f(c)=0 $，则$c$就是函数的零点
- 若$f(c)f(a)< 0 $，则令$b=c$
- $f(c)f(b) < 0$，则令$a=c$
- 判断是否有$|a-b|< \epsilon$，若不满足则重复步骤2~4。
二分法
下列函数均有零点，但是不能用二分法求零点近似值的函数有哪些？