问题回顾
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率）， 大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14含量$y$与死亡年数$x$之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么： $$y=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x,x\in[0,+\infty) $$
问题回顾
在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量$y$随死亡时间$x$的变化而衰减的规律。反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间$x$是碳14的含量$y$的函数吗？
根据指数与对数的关系，由$y=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x,x\in[0,+\infty) $得到 $$x=\text{log}_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}}y,y\in(0,1] $$
问题回顾
作$y=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x,x\in[0,+\infty) $的图象。问题回顾
由图像可知，对于任意一个$y\in(0,1]$，通过对应关系$x=\text{log}_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}}y$， 在$[0,+\infty)$都有唯一确定的$x$和$y$对应，所以$x$也是$y$的函数。也就是说，函数$x=\text{log}_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}}y,y\in(0,1]$刻画了时间$x$随碳14含量$y$的衰减而变化的规律。
对数函数
思考：一般的指数函数$y=a^x(a>0,a\neq 1)$也能表示成$x$是$y$的函数吗？对数函数
$y=a^x(a>0,a\neq 1)\iff x=\text{log}_ay$对数函数
结合指数函数的图像知，上式中$x$与$y$是一一对应的，故由$x=\text{log}_ay( a>0,a\neq 1)$知$x$也是$y$的函数。通常，我们用$x$表示自变量，$y$表示函数，故我们把上式写成$$y=\text{log}_ax ( a>0,a\neq 1)$$
对数函数
一般地，函数$y=\text{log}_ax ( a>0,a\neq 1)$叫做对数函数，自变量是$x$，定义域是$(0,+\infty)$。对数函数的应用
求下列函数的定义域：- $y=\text{log}_3x^2 $
- $y=\text{log}_a(4-x)(a>0,a\neq 1) $
对数函数的应用
求下列函数的定义域：- $y=\frac{1}{\text{log}_2x} $
- $y=\text{log}_2(16-4^x) $
- $y=\sqrt{\text{lg}(x-3)} $
- $y=\text{log}_{x+1}(2-x)$
对数函数的应用
对数类型函数求定义域注意的点：- 分母不为0。
- 开偶次根式时，根号下非负。
- 底数大于0且不为1，真数大于0。
对数函数的图象
类比研究指数函数图象的方法，我们使用描点法画出函数$y=\text{log}_2x$的图象。| $x$ | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
对数函数的图象
对数函数的图象
底数互为倒数的两个指数函数$y=a^x$和$y=\frac{1}{a}^x$的图象关于$y$轴对称，那么底数互为倒数的两个对数函数图象是否有类似的对称性？例如，对于$y=\text{log}_2x $和$y=\text{log}_{\frac{1}{2}}x$。 $$y=\text{log}_{\frac{1}{2}}x =\text{log}_{2^{-1}}x=\frac{1}{-1}\text{log}_2x=-\text{log}_2x $$ 由此可知，$y=\text{log}_2x $和$y=\text{log}_{\frac{1}{2}}x$的图象关于$x$轴对称。
对数函数的图象
对数函数的图象
对数函数的图象
对数函数的图象
对数函数的图象
对数函数的图象
- 函数$y=\text{log}_a(x+1)-2(a>0,a\neq 1)$的图象恒过哪个点？
- 函数$y=\text{log}_a\frac{2x+1}{x-1} +2x(a>0,a\neq 1)$的图象恒过哪个点？
对数函数的图象
- 画出函数$y=\text{lg}(x-1)$的图象
- 画出函数$y=\text{lg}|x-1|$的图象
对数函数的图象
函数$ y=\text{log}_2(x-a)$的图象对数函数的性质
画出下列函数的图象- $y=\text{lg}10^x$
- $y=10^{\text{lg}x} $
对数函数的性质
比较下列各数的大小- $\text{log}_23.4,\quad \text{log}_28.5$
- $\text{log}_{0.3}1.8,\quad\text{log}_{0.3}2.7$
- $\text{log}_a5.1,\quad\text{log}_a5.9(a>0,a\neq1)$
- $\text{log}_50.4,\quad\text{log}_60.4$
- $\text{log}_23,\quad\text{log}_{0.3}2$
对数函数的性质
溶液酸碱度的测量，溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为$\text{pH}=-\text{lg[H]}^+ $。 其中$\text{[H]}^+$表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。- 根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系。
- 已知纯净水中氢离子的浓度为$\text{[H]}^+10^{-7} $摩尔/升，计算纯净水的pH。
对数函数的性质
已知函数 $$f(x)=\begin{cases} 2^x & x\leqslant 1\\ \text{log}_{0.5}x & x>1 \end{cases} $$ 试画出函数$y=f(1-x)$的图象。对数函数的性质
若函数$f(x)=\text{log}_3(x^2-ax+3a)$在区间$(1,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是多少？对数函数的性质
研究函数$y=\text{log}_af(x)$的单调性的方法- 求定义域，使$f(x)>0 $
- 考虑$a>1$或$0< a< 1$
- 复合函数的单调性，同增异减
对数函数的性质
- 求函数$f(x)=\text{log}_3{x^2+2x+4} $的值域。
- 求函数$f(x)=\text{ln}(1+x)-\text{ln}(1-x)$的值域。
反函数
$$y=2x+3\iff x=\frac{y-3}{2} $$ $$ y=x^3 \iff x=y^{\frac{1}{3}} $$ $$y=x^2(x\geqslant 0)\iff x=\sqrt{y} $$ $$y=2^x \iff x=\text{log}_2y $$反函数
若有一个函数$f$，其定义域为$A$，值域为$B$。若存在一个函数$g$，其定义域为$B$，值域为$A$。$$\forall x\in A,g(f(x))=x,\forall y\in B,f(g(y))=y $$ 则称$g$是$f$的反函数，记为$f^{-1} $。
反之，$f$也是$g$的反函数。
反函数
$y=2^x$与$y=\text{log}_2x$互为反函数函数增长的差异
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异。 事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况， 选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。
函数增长的差异
函数增长的差异
虽然函数$y=2^x$与$y=2x$在区间$[0,+\infty)$上都单调递增， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。 随着$x$的增大，$y=2^x$的增长速度越来越快，会超过并远远大于$y=2x$的增长速度。尽管在$x$的一定变化范围内，$2^x$会小于$2x$，但由于$y=2^x$的增长最终会快于$y=2x$的增长， 因此总会存在一个$x_0$，当$x>x_0$时，恒有$2^x>2x$。
函数增长的差异
对于一般的指数函数$y=a^x(a>1)$和一次函数$y=kx(k>0)$都有类似的增长情况。即使$k$远远大于$a$，最终也是指数函数的增长速度大大超过一次函数的增长速度。
函数增长的差异
函数增长的差异
可以看到，虽然它们在$(0,+\infty)$上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异，函数$y=\frac{1}{10}x$的增长速度保持不变，而$y=\text{lg}x $的增长速度在变化。随着$x$的增大，函数$y=\text{lg}x $的图象越来越平缓，其增长速度越来越小了。
函数增长的差异
对于一般的对数函数$y=\text{log}_ax(a>1)$和一次函数$y=kx(k>0)$都有类似的增长情况。随着$x$的增大，一次函数$y=kx(k>0)$保持固定的增长速度，而对数函数$y=\text{log}_ax(a>1)$的增长速度越来越慢。
因此也总会存在一个$x_0$，当$x>x_0$时，恒有$kx> \text{log}_ax$。