## **第四章**
## **指数函数与对数函数**
### $\S 4.3$ **对数**
王瑞
长丰一中
对数的故事
16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发展。
欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，
需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算。
但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率。该怎么办呢？
对数的故事
-
$32\times 256=2^5\times 2^8=2^{13}$
-
$4096\div 128=2^{12}\div 2^7=2^5 $
-
$\sqrt{16384}=\sqrt{2^{14}}=2^7$
-
$132\times 156=? $
对数的故事
-
$32\times 256=2^5\times 2^8=2^{13}$
-
$4096\div 128=2^{12}\div 2^7=2^5 $
-
$\sqrt{16384}=\sqrt{2^{14}}=2^7$
-
$132\times 156\approx 2^{7.04}\times 2^{7.29}=2^{14.33} $
对数的故事
经过多年的探索，苏格兰数学家纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。
法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
伽利略也说过：“给我空间、时间、和对数，我就可以创造一个宇宙。”
对数的概念
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$2^x=1\rightarrow x=0$
-
$2^x=4\rightarrow x=2$
-
$2^x=4\sqrt{2} \rightarrow x=\frac{5}{2} $
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$2^x=5\rightarrow x=?$
-
$2^x=9.3 \rightarrow x=?$
对数的概念
在4.2.1的问题1中，
通过指数幂运算，我们能从$y=1.11^x$中求出经过$x$年后B地景区的游客人次为2001年的倍数$y$，反之，
如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍。那么该如何解决？
对数的概念
一般地，如果$a^x=N(a>0,且a\neq 1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数(logarithm)，记作
$$x=\text{log}_aN $$
其中$a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
例如，由于$2=1.11^x$，所以$x$就是以1.11为底的2的对数，记作$x=\text{log}_{1.11}2$。
对数的概念
-
我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把$\text{log}_{10}N $记作$\text{lg}N$。
-
在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数$e=2.71828\cdots$为底数的对数，以$e$为底的对数称为自然对数，并把$\text{log}_eN$记作$\text{ln}N$。
对数的概念
根据对数的定义，可以得到指数与对数之间的关系。
$$a>0,a\neq 1,a^x=N \iff x=\text{log}_aN $$
|
$a$ |
$x$ |
$N$ |
| $a^x=N$ |
底数 |
指数 |
幂 |
| $\text{log}_aN=x$ |
底数 |
对数 |
真数 |
对数的概念
求下列各式的值：
-
$\text{log}_{3}1 $
-
$\text{log}_{0.5}1 $
-
$\text{lg}1 $
-
$\text{ln}1 $
归纳，$\text{log}_{a}1=?(a>0,a\neq 1) $
对数的概念
求下列各式的值：
-
$\text{log}_{3}3 $
-
$\text{log}_{0.5}0.5 $
-
$\text{lg}10 $
-
$\text{ln}e $
归纳，$\text{log}_{a}a=?(a>0,a\neq 1) $
对数的概念
求下列各式的值：
-
$2^{\text{log}_{2}3} $
-
$0.5^{\text{log}_{0.5}0.35} $
-
$10^{\text{lg}101} $
-
$e^{\text{ln}\pi} $
归纳，$a^{\text{log}_{a}N}=?(a>0,a\neq 1) $
对数的概念
求下列各式的值：
-
$\text{log}_{3}3^4 $
-
$\text{log}_{0.5}0.5^{0.25} $
-
$\text{lg}10^{5.5} $
-
$\text{ln}e^{e} $
归纳，$\text{log}_{a}a^n=?(a>0,a\neq 1) $
对数的概念
$ a>0,a\neq 1$
-
$\text{log}_{a}1=? $
-
$\text{log}_{a}a=? $
-
$a^{\text{log}_{a}N}=? $
-
$\text{log}_{a}a^n=? $
对数的概念
$ a>0,a\neq 1$
-
$\text{log}_{a}1=0 $
-
$\text{log}_{a}a=1 $
-
$a^{\text{log}_{a}N}=N $
-
$\text{log}_{a}a^n=n $
-
负数和零没有对数。
对数的概念
把下列指数式化为对数式：
-
$5^4=625$
-
$2^{-6}=\frac{1}{64}$
-
$(\frac{1}{3})^m=5.73$
对数的概念
把下列对数式化为指数式：
-
$\text{log}_{\frac{1}{2}}16=-4 $
-
$\text{lg}0.01=-2 $
-
$\text{ln}10 =n$
对数的概念
求下列各式中$x$的值：
-
$\text{log}_{64}x=-\frac{2}{3} $
-
$\text{log}_x8=6 $
-
$-\text{ln}e^2 = x$
-
$\text{lg}100 =x$
对数的概念
$b=\text{log}_{3a-1}(3-2a)$，求$a$的取值范围。
对数的概念
求下列各式的值：
-
$2^{\text{log}_23} +2\text{log}_31-3\text{log}_77+3\text{ln}1$
-
$9^{\frac{1}{2}\text{log}_34}$
-
$100^{0.5\text{lg}9-\text{lg}2}$
-
$a^{\text{log}_ab\cdot\text{log}_bc}(a,b,c>0,a,b\neq 1)$
对数的概念
求下列各式中$x$的值：
-
$\text{log}_2(\text{log}_3x)=0 $
-
$\text{log}_5(\text{log}_2x)=1 $
-
$\text{log}_8[\text{log}_7(\text{log}_2x)]=0 $
-
$\text{log}_2[\text{log}_3(\text{log}_2x)]=1 $
对数的运算
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
对数的运算
$$\text{log}_aM+\text{log}_aN=? $$
$$\text{log}_aM-\text{log}_aN=? $$
对数的运算
设$a^m=M,a^n=N,m=\text{log}_aM,n=\text{log}_aN(a>0,a\neq 1)$
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}=M\cdot N $$
$$m+n =\text{log}_a(MN)$$
$$\text{log}_aM+\text{log}_aN=\text{log}_a(MN) $$
对数的运算
设$a^m=M,a^n=N,m=\text{log}_aM,n=\text{log}_aN(a>0,a\neq 1)$
$$a^m\div a^n=a^{m-n}=M\div N $$
$$m-n =\text{log}_a(\frac{M}{N})$$
$$\text{log}_aM - \text{log}_aN=\text{log}_a(\frac{M}{N}) $$
对数的运算
设$a^m=M,m=\text{log}_aM(a>0,a\neq 1)$
$$(a^m)^n=a^{mn}=M^n$$
$$ \text{log}_aM^n = \text{log}_aa^{mn} = mn = n\text{log}_aM $$
对数的运算
对数的运算性质：
$ a>0,a\neq 1,M,N>0,n\in R $
-
$\text{log}_aM+\text{log}_aN=\text{log}_a(MN) $
-
$\text{log}_aM - \text{log}_aN=\text{log}_a(\frac{M}{N}) $
-
$ \text{log}_aM^n = n\text{log}_aM $
对数的运算
求下列各式的值：
-
$\text{lg}\sqrt[5]{100} $
-
$\text{log}_2(4^7\times 2^5)$
-
$\text{log}_345-\text{log}_35 $
-
$\text{lg}25+\frac{2}{3}\text{lg}8+\text{lg}5\times\text{lg}20+(\text{lg}2)^2$
-
$\text{lg}14-2\text{lg}\frac{7}{3}+\text{lg}7-\text{lg}18 $
对数的运算
根据对数的定义，你能用$\text{log}_ca,\text{log}_cb$表示$\text{log}_ab$么？
对数的运算
$$x=\text{log}_ab,b=a^x $$
$$\text{log}_cb= \text{log}_ca^x=x \text{log}_ca $$
$$ \frac{\text{log}_cb}{\text{log}_ca}=x=\text{log}_ab$$
对数的运算
对数换底公式
$$a,b,c>0,a,c\neq1$$
$$\text{log}_ab= \frac{\text{log}_cb}{\text{log}_ca}$$
对数的运算
用换底公式证明下列各式：
-
$$\text{log}_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\text{log}_ab $$
-
$$\text{log}_ab\cdot\text{log}_ba=1 $$
-
$$\text{log}_ab\cdot\text{log}_bc=\text{log}_ac$$
对数的运算
化简下列各式：
-
$ \text{log}_23\times\text{log}_34\times\text{log}_45\times\text{log}_52 $
-
$2(\text{log}_43+\text{log}_83)(\text{log}_32+\text{log}_92)$
对数的运算
地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与里氏震级M之间的关系为
$$\text{lg}E=4.8+1.5M$$
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，
它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
对数的运算
我们用声压级来衡量声音的强弱，定义声压级$L_p=20\times\text{lg}\frac{p}{p_0} $，其中
$p_0(P_0>0)$是听觉下限阈值，$p$是实际声压。下表为不同声源的声压级：
| 声源 |
与声源的距离/m |
声压级/dB |
| 燃油汽车 |
10 |
60~90 |
| 混动汽车 |
10 |
50~60 |
| 电动汽车 |
10 |
40 |
对数的运算
| 声源 |
与声源的距离/m |
声压级/dB |
| 燃油汽车 |
10 |
60~90 |
| 混动汽车 |
10 |
50~60 |
| 电动汽车 |
10 |
40 |
在距离燃油车，混动车，电动车10米处分别测得实际声压为$p_1,p_2,p_3$，则
A.$p_1\geqslant p_2$ B.$p_2>10p_3 $
C.$p_3=100p_0 $ D.$p_1\leqslant 100p_2 $
对数的运算
$e$是什么？
$$(1+\frac{1}{n})^n$$
| $n$ |
1 |
2 |
3 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
| $(1+1/n)^n$ |
2 |
2.25 |
2.37 |
2.59 |
2.704 |
2.717 |
2.71814 |
对数的运算
某银行的年利率为100%，存1元，一年后连本带息获得2元。
若存半年后，就将本息取出再存入银行，年底获得多少元？
若每存一个季度，就将本息取出再存入银行，年底获得多少元？
若每天存完，第二天就取出本息再存入银行，年底获得多少元？
依此类推，若每时每刻都进行一次复利，一年后能得到多少元？
$e$(Euler's number)是增长的极限