指数的故事
古印度有个叫锡塔的大臣发明了一种棋子，国王百玩不厌，决定重赏锡塔。 锡塔说：“陛下，我只要一点麦子。 请您让人将麦子放在我发明的棋盘的64个格子内，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，第5格放16粒……照这样放下去， 每格麦粒数是前1格的2倍，直到把64个棋格放满就行。”若1000粒米有1g重，折算一下，第64格就需要放9223372036吨米，相当于全球三年多的总粮食产量。
指数的故事
假设现在有一张厚度为1mm的纸，纸质非常的柔软，可以对折无数次。 每对折一次，厚度翻一番。已知：地球距离月球约为39万公里，请问对折多少次后厚度能超过地月距离呢？指数的故事
假设现在有一张厚度为1mm的纸，纸质非常的柔软，可以对折无数次。 每对折一次，厚度翻一番。已知：地球距离月球约为39万公里，请问对折多少次后厚度能超过地月距离呢？42次
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问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。 由于旅游人数不断增加，Ａ、Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票。新知
下表给出了Ａ、Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。
新知
为了有利于观察规律，根据上表，分别画出A、B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象。
新知
从2002年起, 将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次, 可以得到：- $\frac{{2002年游客人次}}{2001年游客人次}=\frac{309}{278} \approx 1.11$
- $\frac{{2003年游客人次}}{2002年游客人次}=\frac{344}{309} \approx 1.11 $
- $\cdots $
- $\frac{{2015年游客人次}}{2014年游客人次}=\frac{1244}{1118} \approx 1.11 $
新知
结果表明, B地景区的游客人次的年增长率都约为$1.11−1=0.11$, 是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。
新知
显然, 从2001年开始, B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：- 1年后,游客人次是2001年的$1.11^1$倍
- 2年后,游客人次是2001年的$1.11^2$倍
- 3年后,游客人次是2001年的$1.11^3$倍
- $x$年后,游客人次是2001年的$1.11^x$倍
如果设经过$x$年后的游客人次为2001年的$y$倍, 那么 $$y=1.11^x(x\in[0,+\infty)) $$ 这是一个函数, 其中指数$x$是自变量。
新知
问题２ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”。 按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？背景知识：碳14（$^{14}\text{C}$）或放射性碳是碳元素的一种具放射性的同位素。碳14的原子核由6个质子和8个中子构成，其半衰期约为5730年，衰变方式为$\beta$衰变，衰变过程中， 碳14原子转变为氮14原子。
新知
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为$p$，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，则：- 死亡1年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^1$
- 死亡2年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^2$
- 死亡3年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^3$
- $\cdots$
- 死亡5730年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^{5730}$
根据半衰期的定义，$(1-p)^{5730}=\frac{1}{2}$。所以：
$1-p=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}} ,p=1-(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}} $
新知
如果生物死亡年数为$x$，死亡生物体内碳14含量为$y$，那么: $$y=(1-p)^x= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x(x\in[0,+\infty) )$$ 这也是一个函数，其中其中底数是一个常数，指数$x$是自变量。指数函数
- 问题1：游客年增长率为：0.11，$x$年后游客人次：$y=1.11^x$。
- 问题2：碳14含量年衰减率为：$1-(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$，$x$年后生物体内碳含量：$y= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x$。
如果用字母$a$代替上面两式中的底数，那么两个式子都可以表示 为： $$y=a^x$$ 的形式，其中指数$x$是自变量，底数$a$是一个大于0且不等于1的常量。
指数函数
一般地，形如$y=a^x(a>0,且a\neq 1)$的函数叫做指数函数，其中指数$x$是自变量，定义域为$R$。- 底数$a$为常数，$a>0且a\neq 1$；系数为1。
- 指数$x$为自变量，定义域为$R$。
- 形如$y=k\cdot a^x(k\in R且k\neq 1,a>0且a\neq 1)$的函数属于指数型函数。
指数函数
指数函数定义中为什么规定$a$大于0且不等于1?- 若$a=1$，则$y=a^x$恒为1，对于函数来说没有研究意义。
- 若$𝑎< 0$，当$x < 0$时，$y=a^x$不一定有意义。
- 若$a=0$，当$x>0$时，$y=a^x $恒为0；当$x\leqslant 0$，$y=a^x$没有意义。
指数函数
辨析下列函数是指数函数么？- $y=4^x$
- $y=4^{x+3}$
- $y=1^x$
- $y=(\pi-3)^x$
- $y=(2x)^x$
- $y=(-2)^x$
- $y=(\frac{2}{3})^{-x}$
- $y=x^4$
指数函数
例1 已知指数函数$f(x)=a^x(a>0,a\neq 1),f(3)=\pi$，求$f(0),f(1),f(-3)$的值。$$f(3)=a^3=\pi,a=(\pi)^{\frac{1}{3}},f(x)=((\pi)^{\frac{1}{3}})^x $$ 变式 已知函数$f(x)=a^x+b(a>0,a\neq 1)$，其函数图象过点$(-1,5),(0,4)$，则$f(-2)$的值是多少？
指数函数
- 在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况。
- 在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
指数函数
设经过$x$年后，游客给$A,B$两地带来的收入分别为$f(x),g(x)$元，则$f(x)=1150\times (600+10x)$
$g(x)=1000\times 278 \times 1.11^x $
指数函数
指数函数
- 函数$y=(a^2-3a+3)a^x$是指数函数，求$a$的值。
- 若指数函数$f(x)$的图象经过点$(3,9)$，求$f(x)$。
- 我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，求年平均增长率。
指数函数
常见的指数类型函数- 指数增长模型，设原有量为$N$，每次的增长率为$p$，则经过$x$次增长，该量增长到$y$，则$y=N(1+p)^x$
- 指数减少模型，设原有量为$N$，每次的减少率为$p$，则经过$x$次减少，该量减少到$y$，则$y=N(1-p)^x$
- 指数型函数，把形如$y=ka^x(k\neq0,a>0,且a\neq 1)$的函数称为指数型函数。
指数函数的图象
列出函数$y=2^x$自变量和函数值的表格，使用描点法画图。| x | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0.25 | 0.5 | 0.71 | 1 | 1.41 | 2 | 4 |
指数函数的图象
类似的，画出函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象，比较和$y=2^x$的关系。指数函数的图象
选取$a$的若干值画图，发现指数函数的图像按底数的取值，可分为$0< a < 1$和$a>1$两种类型。指数函数的图象
指数函数$y=a^x$的图象和性质
指数函数的图象
指数函数的图象
指数函数$ y=a^x, y=b^x,y=c^x,y=d^x$的图象如下图所示，判断$a,b,c,d,1$的大小关系。指数函数的图象
指数类型函数$y=a^{x+b}+c$的图象是怎么样的？指数函数的图象
- 函数$f(x)=a^{3-x}-1(a>0,a\neq 1)$的图象恒过哪个定点？
- 函数$f(x)=a^{2x+2}+3(a>0,a\neq 1)$的图象恒过哪个定点？
指数函数的应用
- 求函数$y=\frac{1}{3^x+1}$的值域。
- 求函数$y=\frac{3^x}{1+3^x} $的值域。
- 求函数$y=4^x-2^x+1 $的值域。
指数函数的应用
已知函数$y=a(\frac{1}{2})^{|x|}+b$的图象过原点，且无限接近直线$y=2$但又不与该直线相交。- 求该函数的解析式。
- 判断该函数的奇偶性和单调性。
指数函数的应用
指数函数的应用
比较下列各数的大小：- $0.6^{0.6},0.6^{1.5},1.5^{0.6}$
- $0.4^3,\pi^0,3^{0.4}$
- $0.8^{0.7},0.8^{0.9},1.2^{0.8}$
指数函数的应用
- $a^{-5x}>a^{x+7}(a>0,a\neq 1)$，求$x$的取值范围。
- $(a^2+a+2)^{x}>(a^2+a+2)^{1-x}$，求$x$的取值范围。
指数函数的应用
复合函数的单调性$$y=f(g(x))$$ $$y=f(u),u=g(x) $$ $f(u),g(x) $单调性相同的时候，$y$单调递增。反之，$f(u),g(x) $单调性相反的时候，$y$单调递减。
指数函数的应用
复合函数的单调性$y=f(g(x))$，$g(x)$在$x\in D$上单调递减，$g(x)\in I$，$f(x)$在$x\in I$上单调递增。
$\forall x_1,x_2 \in D,x_1< x_2$，则$g(x_1)>g(x_2),f(g(x_1))>f(g(x_2))$。所以$f(g(x))$单调递减。
指数函数的应用
函数$y=a^{f(x)}$的单调性- $a>1, 0< a < 1$
- $f(x)$的单调性
$y=a^{f(x)}$是由$y=a^u,u=f(x)$的复合而成。
指数函数的应用
- 判断函数$f(x)=(\frac{1}{3})^{x^2-2x}$的单调性，并求值域。
- 求函数$y=a^{x^2+2x-3}$的单调区间。