回顾
函数的单调性
函数的奇偶性
导入
- 如果张红购买了每千克1元的蔬菜$w$千克，那么她需要支付$p＝w$元，这里$p$是$w$的函数。
- 如果正方形的边长为$a$，那么正方形的面积$S=a^2$，这里$S$是$a$的函数。
- 如果正方体的边长为$a$，那么正方体的体积$V=a^3$，这里$V$是$a$的函数。
- 如果一个正方形场地的面积为$S$，那么这个正方形的边长$a=\sqrt{S} $ ，这里$a$是$S$的函数。
- 如果某人$t$ s内骑车行进了1m，那么他骑车的平速度$v=\frac{1}{t}$m/s，这里$v$是$t$的函数。
导入
观察上例中1~5的解析式，有什么共同特征？- $y=x$
- $y=x^2$
- $y=x^3$
- $y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} $
- $y=\frac{1}{x}=x^{-1} $
导入
- 都具有幂的形式
- 均是以幂的底数为自变量
- 幂的指数都是常数
- 自变量前的系数都是1
上述问题中涉及的函数，都是形如$y=x^{\alpha} $的函数。
幂函数
一般地，函数$y=x^{\alpha}$叫做幂函数，其中$ x$是自变量，$\alpha$是常数。自乘之数曰幂—徐光启
- 我们学过的函数中哪些是幂函数？
- 一次函数、二次函数都是幂函数吗？
幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征
幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征- 图象都过点$(1,1) $
-
图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限
- 奇函数的图像在第一和第三象限
- 偶函数的图像在第一和第二象限
- $\alpha >0$时图象过原点，$\alpha \leqslant 0$时图象不过原点
- $\alpha >0$时函数在$(0,+\infty)$单调递增，$\alpha \leqslant 0 $时函数在$(0,+\infty)$单调递减
幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征- 所有的幂函数在$(0,+\infty)$上都有定义，并且图象都过点$(1,1) $。
- 如果$\alpha >0 $ ，那么幂函数的图象过原点，并且在区间$[0,+\infty)$上单调递增。
- 当$\alpha >1 $时，幂函数的图象下凸；当$\alpha =1$时，幂函数的解析式为$y=x$； 当$0 <\alpha < 1 $ 时，幂函数的图象上凸。
幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征- 如果$\alpha < 0 $ ，那么幂函数在原点处无意义，其在区间$(0,+\infty)$上单调递减。
- 在第一象限内，当$x$从右侧趋向于原点时，图象在$y$轴右方无限接近$y$轴，当$x$从原点趋向于$+\infty$时，图象在 $x$轴上方无限接近$x$轴。
- 在第一象限，作直线$x=a(a>1)$，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列。
幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征幂函数
幂函数$y=x^{\alpha} $的图像特征幂函数的应用
比较各组中两个数的大小：
- $(\frac{2}{5})^{0.3},(\frac{1}{3})^{0.3} $
- $(\frac{2}{5})^{0.3},(\frac{1}{3})^{-0.3} $
- $(-\frac{2}{3})^{-1},(-\frac{3}{5})^{-1} $
- $(\frac{2}{5})^{0.3},(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}} $
- $(\frac{2}{5})^{0.3},(\frac{3}{10})^{\frac{2}{5}} $
幂函数的应用
函数$f(x)=(2m-1)x^{m^2+m+1}$是幂函数
- 求$m$的值。
- 证明$f(x)$在定义域上是增函数。
幂函数的应用
已知幂函数$f(x)=x^{9-3m},m\in N^*$的图象关于原点对称，并且在$R$上是单调递增的
- 求$f(x)$的解析式。
- $f(a+1)+f(3a-4)< 0 $，求$a$的取值范围。
幂函数的应用
- $(a+1)^3< (1-2a)^3$，求$a$的取值范围。
- $(a+1)^4 > (1-2a)^4$，求$a$的取值范围。