### **函数的基本性质**
函数描述了客观世界中变量之间的对应关系，我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。
因此，研究函数的性质是认识客观规律的重要方法。
**变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质。**
函数的性质：随着自变量的增大，函数值是增大还是减小；有没有最大值或者最小值；函数图像有什么特征。
函数的单调性
先研究二次函数$y=x^2$的单调性。
函数的单调性
当$x\leqslant 0$时，$y$随$x$的增大而减小。用符号语言描述：
$$\forall x_1,x_2\in (-\infty,0],\text{当}x_1< x_2$$
$$ \text{有} f(x_1)=x_1^2 > f(x_2)=x_2^2 $$
我们说函数$f(x)=x^2$在区间$ (-\infty,0] $上单调递减。
函数的单调性
类似的，当$x\geqslant 0$时，$y$随$x$的增大而增大。用符号语言描述：
$$\forall x_1,x_2\in [0,+\infty),\text{当}x_1 > x_2$$
$$ \text{有} f(x_1)=x_1^2 > f(x_2)=x_2^2 $$
我们说函数$f(x)=x^2$在区间$ [0,+\infty) $上单调递增。
思考：函数$f(x) =|x|,f(x)=-x^2 $各有怎样的单调性？
函数的单调性
设函数$f(x)$的定义域为$D$，区间$I\subseteq D$：
如果$\forall x_1,x_2\in I,\text{当}x_1< x_2\text{时，都有}f(x_1) < f(x_2) $，就称函数$f(x) $在区间$I$上单调递增 。
特别的，当函数$f(x)$在定义域上单调递增时，我们称它是增函数。
函数的单调性
如果$\forall x_1,x_2\in I,\text{当}x_1< x_2\text{时，都有}f(x_1) > f(x_2) $，就称函数$f(x) $在区间$I$上单调递减 。
特别的，当函数$f(x)$在定义域上单调递减时，我们称它是减函数。
函数的单调性
如果函数$y=f(x)$在某个区间$I$上单调递增或单调递减，那么就说函数$y=f(x)$在这一区间具有(严格的)单调性，区间$I$叫做$y=f(x)$的单调区间。
1. 函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个 局部性质 ；
2. 必须是对于区间$D$内的任意两个自变量$x_1,x_2$；当$x_1 < x_2$时，总有$f(x_1) < f(x_2)$或 $f(x_1) > f(x_2)$ 分别是单调递增和单调递减。
### **函数的单调性**
1. 根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq 0) $的单调性。
2. 波意耳定律$p=\frac{k}{V}$（$k$为正常数），对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积$V$减小，压强$p$将增大。试用函数的单调性证明。
3. 根据定义证明函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(0,1]$，$(1,+\infty)$上的单调性。
### **函数的单调性**
1.函数$ f(x)=kx+b(k\neq 0)$的定义域是$R$，$\forall x_1,x_2\in R$，且$x_1< x_2$，则
$$ f(x_1)-f(x_2)=(kx_1+b)-(kx_2+b)=k(x_1-x_2) $$
- $k> 0,k(x_1-x_2)< 0,f(x_1)< f(x_2)$，$ f(x)=kx+b$是增函数。
- $k< 0,k(x_1-x_2)> 0,f(x_1)> f(x_2)$，$ f(x)=kx+b$是减函数。
### **函数的单调性**
2.$p=\frac{k}{V}$的定义域根据物理意义$V\in (0,+\infty)$，$\forall V_1,V_2\in (0,+\infty) $，且$V_1< V_2$，则
$$p_1-p_2=\frac{k}{V_2}-\frac{k}{V_2} =k\frac{V_2-V_1}{V_1V_2} $$
$$k > 0,V_2-V_1>0,p_1-p_2>0 $$
所以函数$p=\frac{k}{V}$在$V\in (0,+\infty)$上是减函数，即当体积$V$减小时，压强$p$将增大。
函数的单调性
3.$\forall x_1,x_2\in (0,+\infty) $，且$x_1< x_2$，则
\[\small \begin{aligned} y_1-y_2 &=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2}) \\
&=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}(x_1x_2-1) \end{aligned} \]
-
$x_1,x_2\in (0,1] $时，$x_1x_2< 1,y_1>y_2$，函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(0,1]$上单调递减。
-
$x_1,x_2\in (1,+\infty) $时，$x_1x_2> 1,y_1< y_2$，函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$ (1,+\infty) $上单调递减。
函数的单调性
定义法证明函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性一般步骤：
-
$\forall x_1,x_2\in D$，且$x_1< x_2 $
-
作差$f(x_1)-f(x_2)$，化简代数式
-
判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负
-
判断函数$f(x)$在该区间上的增减性
函数的单调性
单调性的四则运算法则
-
$f(x)$与$f(x)+C $单调性相同（$C$为常数）
-
$a>0,af(x)$与$f(x)$单调性相同
-
$a< 0,af(x)$与$f(x)$单调性相反
-
$f(x) > 0,\frac{1}{f(x)}$与$f(x)$单调性相反
-
$f(x) < 0,\frac{1}{f(x)}$与$f(x)$单调性相反
-
$f(x) \geqslant 0,\sqrt{f(x)}$与$f(x)$单调性相同
函数的单调性
单调性的四则运算法则
假设$f(x),g(x)$在区间$I$上单调，则
-
增函数+增函数=增函数
-
减函数+减函数=减函数
-
$f(x),g(x)$在区间$I$上单调性相同，则复合函数$f(g(x))$在区间$I$上是单调递增的
-
$f(x),g(x)$在区间$I$上单调性相反，则复合函数$f(g(x))$在区间$I$上是单调递减的
### **函数的单调性**
练习：求下列函数的单调区间
1. $f(x)=x^2-4|x|+3 $
2. $ f(x)=-x^2+2|x|+1 $
### **函数的单调性**
练习：求下列函数的单调区间
1. $f(x)=\frac{2x+1}{x+1} $
2. $f(x)=\frac{3x}{x-1}$
函数的单调性
练习
\[ f(x)=\begin{cases}
(3a-1)x+4a & x< 1\\
-ax & x\geqslant 1
\end{cases} \]
函数$f(x)$在定义域上单调递减，求$a$的取值范围？
函数的单调性
练习
已知函数$f(x)$在$(-2,2) $上单调递增，且$f(2m+1)>f(-m+1) $，求$m$的取值范围？
### **函数的单调性**
练习
已知函数$f(x)=x^2+(2a-1)x+1在(-\infty,2] $上单调递减，求$a$的取值范围？
- 变式1.函数$f(x)$的单调递减区间是$(-\infty,2]$，求$a$的取值范围？
- 变式2.函数$f(x)$在区间$[1,2] $上不单调，求$a$的取值范围？
- 变式3.函数$f(x)$在区间$[1,2] $上单调，求$a$的取值范围？
函数的单调性
练习
已知函数$f(x)=x^2+(2a-1)x+1在(-\infty,2] $上单调递减，求$a$的取值范围？
函数的最值
观察函数$y=x^2$的图像，发现有最低点$(0,0)$，即$\forall x\in R,f(x)\geqslant 0$。
函数的最值
观察函数$y=-x^2$的图像，发现有最高点$(0,0)$，即$\forall x\in R,f(x)\leqslant 0$。
函数的最值
一般的，设函数$y=f(x)$的定义域为$D$，如果存在实数$M$满足：
-
$\forall x\in D,f(x)\leqslant M $
-
$\exist x_0\in D,f(x_0)=M $
那么我们称$M$是函数$y=f(x)$的最大值。
-
$\forall x\in D,f(x)\geqslant M $
-
$\exist x_0\in D,f(x_0)=M $
那么我们称$M$是函数$y=f(x)$的最小值。
函数的最值
判断下列命题是否为真命题：
-
若$\forall x\in I,f(x)\leqslant M $，则$M$是函数$f(x)$的最大值。
-
一个函数有多个最小值。
-
如果函数有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
-
如果函数的值域是确定的，则它一定有最值。
-
因为$x^2>-1$恒成立，所以$-1$是$f(x)=x^2 $的最小值。
函数的最值
求最值的方法
图像法
\[
y=
\begin{cases}
\frac{1}{x} & x\geqslant 1\\
-x^2+2 & x< 1
\end{cases}
\]
函数的最值
求最值的方法
换元法
-
函数$y=2x-\sqrt{x+1} $的最小值是多少？
-
函数$y=x+\sqrt{2x-1} $有最大值或者最小值么？
-
函数$f(x)=-\sqrt{x-x^2}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的最大值为？
-
函数$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x} $的最大值为？
函数的最值
求最值的方法
单调性法
-
$f(x)=\frac{x-1}{x+2},x\in [3,5]$，求$f(x)$的值域
-
$y=x+\sqrt{2x-1}$有最大值或者最小值么？
函数的单调性
最值的应用
恒成立问题
-
$x\in [0,2],a< -x^2+2x$恒成立，求$a$的取值范围？
-
$x\in [0,3),a< -x^2+2x$恒成立，求$a$的取值范围？
-
$x\in [0,2],a\geqslant -x^2+2x$恒成立，求$a$的取值范围？
函数的单调性
最值的应用
二次函数的最值问题
$f(x)=x^2-2x-3$
-
$x\in R,f(x)$的值域
-
$x\in (-\infty,2),f(x)$的值域
-
$x\in (-1,0),f(x)$的值域
-
$x\in [0,2],f(x)$的值域
-
$x\in (-1,a),f(x)$的值域
函数的单调性
最值的应用
二次函数的最值问题
-
$f(x)=x^2-2ax+2,x\in [2,4]$，求$f(x)$的值域
-
$f(x)=x^2-2x-3,x\in[t,1] $的值域是$[-4,-3]$，求$t$的取值范围
-
$f(x)=x^2-4x+6,x\in [m,n],f(x)$的值域是$ [m,n] $，求$m,n$
-
$f(x)=x^2-2ax-2,\forall x\in [2,4],f(x)\leqslant 0$，求$a$的取值范围？