初中函数的概念
初中函数的概念
一般地，如果在一个变化过程中有两个 变量 $x$和$y$， 对于$x$的每一个确定的值，$y$都有 唯一 确定的值与其对应，就说$y$是$x$的 函数 。 其中$x$是自变量，$y$是因变量。
问题4 我国城镇居民恩格尔系数
| 年份$y$ | 恩格尔系数$r$(%) |
|---|---|
| 2016 | 29.3 |
| 2017 | 28.6 |
| 2018 | 27.7 |
| 2019 | 27.6 |
| 2020 | 29.2 |
| 2021 | 28.6 |
函数的概念
可见，构成函数的要素为： 定义域，对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同， 且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数。
练习
辨析下列对应关系是函数么？
练习
辨析下列对应关系是函数么？
练习
辨析下列对应关系是函数么？
练习
辨析下列对应关系是函数么？
练习
判断下列图像里$y$是$x$的函数么？
练习
判断下列图像里$y$是$x$的函数么？
练习
如果记圆周率$\pi$小数点后第$n$位上的数字为$y$，那么$y$是$n$的函数么？如果是，该函数的定义域，值域和对应关系是什么？扩展
BBP算法$ \pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right] $ $k=5,\pi\approx 3.1415926532$
练习
一次函数，二次函数，反比例函数的定义域，值域，对应关系分别是什么？练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=kx+b,k\not=0$ |
练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=kx+b,k\not=0$ | $R$ | $R$ | 把$R$里面任意数$x$对应到唯一的数$kx+b$ |
练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=ax^2+bx+c,(a \neq 0)$ |
练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=ax^2+bx+c,(a>0)$ | $R$ | $y\geqslant \frac{4ac-b^2}{4a} $ | 把$R$里面任意数$x$对应到唯一的数$ax^2+bx+c$ |
| $y=ax^2+bx+c,(a< 0)$ | $R$ | $y\leqslant \frac{4ac-b^2}{4a} $ | 把$R$里面任意数$x$对应到唯一的数$ax^2+bx+c$ |
练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=\frac{k}{x},k\not=0$ |
练习
| 函数 | 定义域 | 值域 | 对应关系 |
|---|---|---|---|
| $y=\frac{k}{x},k\neq 0$ | $x\neq 0$ | $y\neq 0$ | 把不等于0的任意数$x$对应到唯一的数$\frac{k}{x}$ |
总结
函数三要素| 概念 | 含义 | 性质 | 表示 |
|---|---|---|---|
| 自变量 | $x$ | 任意性 | 小写拉丁字母 |
| 函数值 | $f(x)$ | 唯一性（多对一或一对一） | $f(x),F(x)$等 |
总结
函数三要素| 概念 | 含义 | 性质 | 表示 |
|---|---|---|---|
| 定义域 | 使函数有意义的自变量的取值集合 | 非空数集$A$ | 集合 |
| 值域 | 函数值的取值集合 | {$f(x)|x\in A$}$\subseteq B$ | 集合 |
总结
对于$y=f(x),x\in A$的理解| 概念 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| $x\in A$ | 函数的定义域为$A$ | 研究函数先看定义域 |
| $y = f(x)$ | 函数符号，表示$x$在对应关系$f$的作用下可得对应的函数值$y$ | 不能理解为“$y$等于$f$乘$x$” |
总结
| 概念 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| $f$ | 对应法则，表示对$x$实施“对应”操作的方式 | 可为解析式、图象、表格等 |
| $f(x)$ | 函数值$y$，或函数$y=f (x)$的简记 | $f(x)=x^2+2x+1,g(x)=\frac{1}{x^3} $ |
| $f(a)$ | 当$x=a$时函数$f(x)$的取值 | $f(a) $是$f(x) $的一个特殊取值 |
区间
设$a,b\in R,a < b$，我们规定：1.满足不等式$a\leqslant x \leqslant b $的实数$x$的集合叫做闭区间 ，表示为$[a,b]$;
2.满足不等式$a < x < b $的实数$x$的集合叫做开区间，表示为$(a,b)$;
3.满足不等式$a\leqslant x < b $或$a< x \leqslant b $的实数$x$的集合叫做半开半闭区间，表示为$[a,b),(a,b]$;
$a,b$叫做相应区间的端点。
区间
