## **第二章** ## **一元二次函数、方程和不等式** ### **$\S$ 2.2 基本不等式** ### 王瑞 ### 合肥六中

### **§2.2.1 基本不等式**

### **重要不等式** $$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a^2 + b^2 \geqslant 2ab \quad (\text{当且仅当 } a = b \text{ 取等号})$$

### **重要不等式** $$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a^2 + b^2 \geqslant 2ab \quad (\text{当且仅当 } a = b \text{ 取等号})$$ **思考：** 如果 $a > 0, b > 0$，能否用 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ 代替上式中的 $a, b$，可以得到什么结论？

### **基本不等式** $$\text{若 } a > 0, b > 0, \text{则 } \frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \quad $$ $$(\text{当且仅当 } a = b \text{ 时取等号})$$

### **基本不等式** $$\text{若 } a > 0, b > 0, \text{则 } \frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \quad $$ $$(\text{当且仅当 } a = b \text{ 时取等号})$$ **思考：** + 一定要 $a > 0, b > 0$ 么？ + 当且仅当是什么意思？ + 如何证明这个不等式是成立的？

### **基本不等式的证明方法** 1. **作差法：** $$\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0$$

基本不等式的证明方法

2. 几何法：

### **基本不等式** $\frac{a + b}{2}$ 叫做**算术平均数**（arithmetic mean）， $\sqrt{ab}$ 叫做**几何平均数**（geometric mean）。 基本不等式又叫做**算术-几何平均值不等式**。

### **基本不等式** | | 重要不等式 | 基本不等式 | | --- | --- | --- | | 不等式 | $a^2 + b^2 \geqslant 2ab$ | $\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$ | | 适用范围 | $a, b \in \mathbb{R}$ | $a, b > 0$ | | 文字叙述 | 两数的平方和不小于它们积的 2 倍 | 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 | | 等号成立 | $a = b$ | $a = b$ |

### **例题** **例 1.** 已知 $x < 0$，求函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最大值。

### **例题** **例 2.** 已知 $a, b > 0$，$ab = 6$，求 $a + b$ 的最小值。 **例 3.** 已知 $a, b > 0$，$a + b = 18$，求 $ab$ 的最大值。

### **例题** **思考：** 函数 $y = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2 + 2}$ 能否用基本不等式求最小值？

### **适用范围** 怎么知道关于不等式的证明中能否使用基本不等式呢？ + **正数**：$a > 0, b > 0$ + **定值**：$a + b$ 或者 $ab$ 由条件给出了定值 + **相等**：当且仅当 $a = b$ 时取等号 利用基本不等式求最值的问题，适用条件：**一正，二定，三相等**。

### **总结** + 重要不等式与基本不等式 + $x, y > 0$，已知 $x + y$，求 $xy$ 最大值 + $x, y > 0$，已知 $xy$，求 $x + y$ 最小值 + 基本不等式应用条件：一正、二定、三相等

### **§2.2.2 基本不等式在实际问题中的应用**

### **回顾** 重要不等式： $$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a^2 + b^2 \geqslant 2ab$$ 基本不等式： $$\forall a, b > 0,\ \frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$$

### **回顾** 基本不等式的变形： $$\forall a, b > 0,\ a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$$ $$\forall a, b > 0,\ ab \leqslant \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$$

### **基本不等式的应用** **例 1.** 一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，该矩形的长、宽各为多少时，矩形菜园的面积最大？最大面积多少？

### **基本不等式的应用** **例 2.** 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算，若将楼房建为 $x$ 层，则每平方米的平均建筑费用为 $560 + 48x$（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

### **基本不等式的应用** **不等式链：** $$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$ $$ab \leqslant \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}$$

### **基本不等式的应用** **常用思路：** + 配凑 + 换元 + 消元 + 巧用“1”

### **基本不等式的应用——配凑法** 1. $x > 1$，$y = 2x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是多少？ 2. $x > 2y > 0$，$\frac{3y}{x - 2y} + \frac{x}{y}$ 的最小值是多少？ 3. $0 < x < \frac{2}{5}$，$3x(2 - 5x)$ 的最大值是多少？

### **基本不等式的应用——利用“1”的代换求最值** 1. $x, y > 0$，$4x + y = 4$，$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是多少？ 2. $x, y > 0$，$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2$，$2x + y$ 的最小值是多少？ 3. $0 < x < \frac{1}{2}$，$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2x}$ 的最小值是多少？

### **基本不等式的应用——利用“1”的代换求最值** 4. $x > 1, y > 0$，$x + \frac{2}{y} = 2$，$\frac{1}{x - 1} + y$ 的最小值是多少？ 5. $x, y > 0$，$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$，$2xy - 3x$ 的最小值是多少？ 6. $m, n > 0$，$m + n = 1$，$\frac{m}{m + 2} + \frac{n}{n + 4}$ 的最大值是多少？

### **基本不等式的应用——换元法** 1. $a, b > 0$，$2ab + a + 2b = 3$，$a + 2b$ 的最小值是多少？ 2. $a^2 + b^2 = ab + 4$，$a + b$ 的最大值是多少？ 3. $x > 1$，$\frac{x^2}{3x - 3} - x + 1$ 的最大值是多少？

### **基本不等式的应用——消元法** 1. $x > 1$，$xy - y = x + 3$，$x + 2y$ 的最小值是多少？ 2. $x, y > 0$，$x^2 - 2xy + 2 = 0$，$x + y$ 的最小值是多少？