## **第二章** ## **一元二次函数、方程和不等式** ### **$\S2.1$ 等式性质与不等式性质** ### 王瑞 ### 合肥六中

### **§2.1.1 相等关系与不等关系**

### **背景** 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重，不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等。相等用**等式**表示，不等用**不等式**表示。

### **背景** 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 1. 某段路限速 40km/h 2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 $f$ 应不少于 2.5%，蛋白质含量 $p$ 应不少于 2.3% 3. 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 4. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

### **应用** 1. 某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案 $A$ 为一次性投资 300 万；方案 $B$ 为第一年投资 80 万，以后每年投资 20 万。如何用不等式表示“经过 $n$ 年之后，方案 $B$ 的投入不少于方案 $A$ 的投入”？

### **应用** 2. 用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，要求菜园的面积不小于 $96m^2$，靠墙的一边长为 $xm$。试用不等式（组）表示其中的不等关系。

### **应用** 3. 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量就可能减少 2000 本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万元？

不等式的性质

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设 $a, b$ 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 $A, B$。

当点 $A$ 在点 $B$ 的左边时，$a < b$：

当点 $A$ 在点 $B$ 右边时，$a > b$：

### **不等式的性质** 关于实数 $a, b$ 大小的比较，有下列基本事实： 如果 $a - b$ 是正数，那么 $a > b$； 如果 $a - b$ 等于 0，那么 $a = b$； 如果 $a - b$ 是负数，那么 $a < b$。 反过来也对。

### **不等式的性质** 这个基本事实可以表示为： $$a > b \Leftrightarrow a - b > 0$$ $$a = b \Leftrightarrow a - b = 0$$ $$a < b \Leftrightarrow a - b < 0$$ 要比较两个实数的大小， 可以转化为比较它们的**差与 0 的大小**。

### **课堂练习** 1. 比较下列各组中两个代数式的大小： - $(x + 2)(x + 3)$ 与 $(x + 1)(x + 4)$ - $2x^2 + 5x + 3$ 与 $x^2 + 4x + 2$ - $x^2 + y^2 + 1$ 与 $2(x + y - 1)$

### **课堂练习** 2. 已知 $a > 0, b > 0$，求证 $a^3 + b^3 > a^2 b + ab^2$

### **课堂练习** 3. 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积。

探索

下图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标：

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

### **重要不等式** $$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a^2 + b^2 \geqslant 2ab \quad (\text{当且仅当 } a = b \text{ 取等号})$$

### **重要不等式** $$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a^2 + b^2 \geqslant 2ab \quad (\text{当且仅当 } a = b \text{ 取等号})$$ **练习：** 1. $a^2 + b^2 = 4$，则 $ab$ 最大值是多少？ 2. $\forall x \in \mathbb{R},\ x \neq 0$，$x^2 + \frac{4}{x^2}$ 最小值是多少？

### **回顾总结** + 从实际问题中抽象出不等关系，表示不等式。 + 要比较（证明）两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小。 $$a > b \Leftrightarrow a - b > 0$$ $$a = b \Leftrightarrow a - b = 0$$ $$a < b \Leftrightarrow a - b < 0$$

### **§2.1.2 等式性质与不等式性质**

### **背景** 等式有以下基本性质： + 若 $a = b$，则 $b = a$ + 若 $a = b, b = c$，则 $a = c$ + 若 $a = b$，则 $a + c = b + c$ + 若 $a = b$，则 $ac = bc$ + 若 $a = b, c \neq 0$，则 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

### **不等式的性质** 思考：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 1. **对称性**：$a > b \Leftrightarrow b < a$ 2. **传递性**：若 $a > b, b > c$，则 $a > c$ 3. **可加性**：$a > b \Leftrightarrow a + c > b + c$ 4. **可乘性**：若 $a > b, c > 0$，则 $ac > bc$；若 $a > b, c < 0$，则 $ac < bc$

### **不等式的性质** 思考：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 3. **可加性**：$a > b \Leftrightarrow a + c > b + c$ 由性质 3 可得， $a + b > c \Leftrightarrow a + b + (-b) > c - b \Leftrightarrow a > c - b$ 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。

### **不等式的性质** 思考：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 5. **同向可加性**：若 $a > b, c > d$，则 $a + c > b + d$ 6. **同向同正可乘性**：若 $a > b > 0, c > d > 0$，则 $ac > bd$ 7. **同乘方性**：若 $a > b > 0$，则 $a^n > b^n$，$n \in \mathbb{N}^{*}$ 8. **同开方性**：若 $a > b > 0$，则 $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}\ (n \geqslant 2)$

### **例题** 1. 已知 $a > b > 0, c < 0$，求证 $ac < bc$ 2. 已知 $a > b > 0, c < d < 0$，求证 $\sqrt[3]{ad} < \sqrt[3]{bc}$ 3. 已知 $1 < a < 4$，$2 < b < 8$，求 $a - b$，$ab$ 的取值范围

### **例题** 4. 已知 $1 \leqslant a - b \leqslant 2$ 且 $2 \leqslant a + b \leqslant 4$， 求 $4a - 2b$ 的取值范围 5. 若 $a < 0$ 且 $a \neq b$，试比较 $a$ 与 $2b - \frac{b^2}{a}$ 的大小

### **总结** 证明不等式的两种思路： + 由已知条件推理出结论，**综合法** + 由结论倒推出所需条件，**分析法**

### **总结** 1. 用不等式（组）表示不等关系的步骤： + 审清题意，明确条件中的不等关系的个数 + 适当设未知数表示变量 + 用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式

### **总结** 2. 用不等式表示不等关系的注意点： + 利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示。 + 在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一。

### **总结** 比较两个实数（代数式）大小的步骤： + **作差**：对要比较大小的两个实数（多项式）作差 + **变形**：对差进行变形 + **判断差的符号**：结合变形的结果及题设条件判断差的符号 + **得出结论**

### **总结** + 比较大小的方法（作差法） + 等式和不等式的基本性质