## **第一章** ## **逻辑用语** ### **$\S1.5$ 全称量词与存在量词** ### 王瑞 ### 合肥六中

### **§1.5.1 全称量词与存在量词**

### **背景** 思考下列语句是命题么？ 1. $x > 3$ 2. $2x + 1$ 是整数

### **背景** 思考下列语句是命题么？比较 1 和 3，2 和 4，你有什么发现？ 1. $x > 3$ 2. $2x + 1$ 是整数 3. 对所有的 $x \in \mathbb{R}$，$x > 3$ 4. 对任意一个 $x \in \mathbb{Z}$，$2x + 1$ 是整数

### **背景** 命题是可以判断真假的陈述句。但是在数学中，会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，不能判断真假，因此不是命题。 但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使原语句成为一个命题，我们把这样的短语称为**量词**。

### **全称量词** 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做**全称量词**（universal quantifier），并用符号 $\forall$ 表示，含有全称量词的命题，叫做**全称量词命题**。

### **全称量词** 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做**全称量词**（universal quantifier），并用符号 $\forall$ 表示，含有全称量词的命题，叫做**全称量词命题**。 例如，命题“对任意的 $n \in \mathbb{Z}$，$2n + 1$ 是奇数”，“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。常见的全称量词还有“一切”、“每一个”、“任给”等。

### **全称量词** 通常，将含有变量 $x$ 的语句用 $p(x), q(x), r(x), \cdots$ 表示，变量 $x$ 的取值范围用 $M$ 表示。那么，全称量词命题“对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”可用符号简记为 $$\forall x \in M,\ p(x)$$ $\forall$ 是大写字母 $A$ 的颠倒，单词 *arbitrary* 或者 *all* 的首字母都是 $A$。

### **全称量词命题** **全称量词命题怎么判断真假？** 要判定全称量词命题“$\forall x \in M, p(x)$”是真命题，需要对集合 $M$ 中的每个元素 $x$，证明 $p(x)$ 成立。 反之，如果在集合 $M$ 中找到一个元素 $x_0$，使得 $p(x_0)$ 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题，这个方法就是**举反例**。

### **全称量词命题** 判断下列全称量词命题的真假： 1. 所有的素数都是奇数 2. $\forall x \in \mathbb{R}$，$|x| + 1 \geqslant 1$ 3. 对任意一个无理数 $x$，$x^2$ 也是无理数

### **背景** 思考下列语句是命题吗？ 1. $2x + 1 = 3$ 2. $x$ 能被 2 和 3 整除

### **背景** 思考下列语句是命题吗？比较 1 和 3，2 和 4 的关系。 1. $2x + 1 = 3$ 2. $x$ 能被 2 和 3 整除 3. 存在一个 $x \in \mathbb{R}$，使得 $2x + 1 = 3$ 4. 至少有一个 $x \in \mathbb{Z}$，使得 $x$ 能被 2 和 3 整除

### **存在量词** 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做**存在量词**（existential quantifier），并用符号 $\exists$ 表示。含有存在量词的命题，叫做**存在量词命题**。 例如，命题“有的平行四边形是菱形”，“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题。

### **存在量词** 存在量词命题“存在 $M$ 中的元素 $x$，$p(x)$ 成立”可用符号简记为 $$\exists x \in M,\ p(x)$$ 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。

### **存在量词命题** **存在量词命题如何判断真假？** 要判定存在量词命题“$\exists x \in M, p(x)$”是真命题，只需在集合 $M$ 中找到一个元素 $x$，使 $p(x)$ 成立即可； 反之，如果在集合 $M$ 中，使 $p(x)$ 成立的元素 $x$ 不存在，那么这个存在量词命题是假命题。

### **存在量词命题** 判断下列存在量词命题的真假： 1. 有一个实数 $x$，使 $x^2 + 2x + 3 = 0$。 2. 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。 3. 有些平行四边形是菱形。

### **课堂练习** 1. 判断真假：$\forall n \in \mathbb{N}^{*}$，$2n^2 + 5n + 2$ 不能被 2 整除是假命题。 2. 判断真假：$\exists n \in \mathbb{N}^{*}$，$2n^2 + 5n + 2$ 不能被 2 整除是真命题。 3. 判断真假：$\exists n \in \mathbb{N}^{*}$，$2n^2 + 5n + 2$ 能被 2 整除是假命题。

### **课堂练习** 4. 用“$\forall, \exists$”改写下列命题：有一个实数乘上任意实数都等于 0。 5. 设 $A, B$ 为集合，用“$\forall, \exists$”给 $A \subseteq B$，$A \nsubseteq B$ 下定义。

### **课堂练习** 6. $\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 4x + a = 0$ 有实数解，求 $a$ 的取值范围？ 7. 命题“$\forall x \in \mathbb{R}$，$ax^2 - ax - 2 \leqslant 0$”是真命题，求 $a$ 的取值范围？

### **课堂练习** 1. 已知集合 $A = \\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 5\\}$，$B = \\{x \mid m + 1 \leqslant x \leqslant 2m - 1\\}$，$B \neq \varnothing$ (1) 命题：“$\forall x \in B, x \in A$”是真命题，求 $m$ 取值范围。 (2) 命题：“$\exists x \in A, x \in B$”是真命题，求 $m$ 取值范围。

### **课堂练习** 2. 已知命题 $p : \forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 2m - 3 > 0$，命题 $q : \exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 - 2mx + m + 2 < 0$ (1) 若命题 $p$ 为真命题，求 $m$ 取值范围。 (2) 若命题 $p, q$ 至少有一个为真命题，求 $m$ 取值范围。

### **回顾总结** + 全称量词与全称量词命题 + 存在量词与存在量词命题 + 如何判断全称量词命题的真假？ + 如何判断存在量词命题的真假？

### **§1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定**

### **命题的否定** 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的**否定**。 原命题为“若 $p$，则 $q$”， 命题的否定为“若 $p$，则 $\neg q$”。 一个命题和它的否定只能一真一假，不能同真同假。

### **命题的否定** | 原命题 | 命题的否定 | | --- | --- | | 56 是 7 的倍数 | | | 空集是非空集合 $A$ 的真子集 | | | 小明月考数学能考 130 分以上 | |

### **命题的否定** | 原命题 | 命题的否定 | | --- | --- | | 56 是 7 的倍数 | 56 不是 7 的倍数 | | 空集是非空集合 $A$ 的真子集 | 空集不是非空集合 $A$ 的真子集 | | 小明月考数学能考 130 分以上 | 小明月考数学不能考 130 分以上 |

### **全称量词命题的否定** 探究：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ 1. 所有的矩形都是平行四边形 2. 每一个素数都是奇数 3. $\forall x \in \mathbb{R}$，$|x| + x \geqslant 0$ 这三个命题都是全称量词命题，即具有“$\forall x \in M, p(x)$”的形式。

### **全称量词命题的否定** 这三个命题都是全称量词命题，即具有“$\forall x \in M, p(x)$”的形式。 命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，**存在一个矩形不是平行四边形**。 命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，**存在一个素数不是奇数**。 命题（3）的否定是“并非所有的 $\forall x \in \mathbb{R}$，$|x| + x \geqslant 0$”，也就是说，$\exists x \in \mathbb{R}$，$|x| + x < 0$。

### **全称量词命题的否定** 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可。

### **全称量词命题的否定** 也就是说，假定全称量词命题为“$\forall x \in M, p(x)$”，则它的否定为“并非 $\forall x \in M, p(x)$”， 也就是“$\exists x \in M$，$p(x)$ 不成立”。通常，用符号“$\neg p(x)$”表示“$p(x)$ 不成立”。 全称量词命题： $\forall x \in M,\ p(x)$ 它的否定： $\exists x \in M,\ \neg p(x)$

### **全称量词命题的否定** 否定全称量词命题的步骤： + **更换量词**：把全称量词变成存在量词 + **否定结论**：把全称量词命题的结论否定

### **全称量词命题的否定** 写出下列全称量词命题的否定： 1. 所有能被 3 整除的整数都是奇数 2. 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 3. 对 $\forall x \in \mathbb{Z}$，$x^2$ 的个位数字不等于 3

### **存在量词命题的否定** 探究：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ 1. 存在一个实数的绝对值是正数 2. 有些平行四边形是菱形 3. $\exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 - 2x + 3 = 0$ 这三个命题都是存在量词命题，即具有“$\exists x \in M, p(x)$”的形式。

### **存在量词命题的否定** 命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，**所有实数的绝对值都不是正数**。 命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，**每一个平行四边形都不是菱形**。 命题（3）的否定是“不存在 $x \in \mathbb{R}$，$x^2 - 2x + 3 = 0$”，也就是说，$\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 - 2x + 3 \neq 0$。

### **存在量词命题的否定** 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题。 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。

### **存在量词命题的否定** 也就是说，假定存在量词命题为“$\exists x \in M, p(x)$”，则它的否定为“不存在 $x \in M$，$p(x)$ 成立”，也就是“$\forall x \in M$，$p(x)$ 不成立”。 存在量词命题： $$\exists x \in M,\ p(x)$$ 它的否定： $$\forall x \in M,\ \neg p(x)$$

### **存在量词命题的否定** 否定存在量词命题的步骤： + **更换量词**：把存在量词变成全称量词 + **否定结论**：把存在量词命题的结论否定

### **存在量词命题的否定** 写出下列存在量词命题的否定： 1. $\exists x \in \mathbb{R}$，$x + 2 \leqslant 0$ 2. 有的三角形是等边三角形 3. 有一个偶数是素数

### **课堂练习** 1. 已知命题 $p : \forall x$，$1 \leqslant x \leqslant 3$，都有 $m \geqslant x$。命题 $q : \exists x$，$1 \leqslant x \leqslant 3$，使得 $m \geqslant x$。若命题 $p$ 为真，命题 $q$ 的否定为真，求 $m$ 的取值范围。

### **课堂练习** 2. 已知命题 $p :$ “$\exists x \in \mathbb{R}$，使不等式 $mx^2 - mx - 1 \geqslant 0$ 成立”是假命题 + 求实数 $m$ 的取值范围。 + 若 $q : -4 < m - a < 4$ 是 $\neg p$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围。

### **总结：常见词语的否定** | 词语 | 词语的否定 | | --- | --- | | 等于 | 不等于 | | 大于 | 小于或等于 | | 小于 | 大于或等于 | | 是 | 不是 | | 都是 | 不都是（和都不是不一样） | | 至多一个 | 至少两个 | | 至少一个 | 一个也没有 | | 任意 | 某个 | | 所有 | 某些 |

### **总结** + 全称量词命题的否定是一个存在量词命题。给出全称量词命题的否定时，既要否定全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键。 + 存在量词命题的否定是一个全称量词命题。给出存在量词命题的否定时，既要否定存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键。