## **第一章** ## **逻辑用语** ### **$\S1.4$ 充分条件与必要条件** ### 王瑞 ### 合肥六中

### **§1.4.1 充分条件与必要条件**

### **背景** **请同学们回顾初中所学，什么是命题？**

### **背景** **请同学们回顾初中所学，什么是命题？** 我们把<font color="red">**可以判断真假** </font> 的陈述句叫做命题。

### **命题** 我们把**可以判断真假**的陈述句叫做命题。判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题。 中学的数学命题大多可以写成“若 $p$，则 $q$”或者“如果 $p$，那么 $q$”的形式。其中 $p$ 称为命题的**条件**，$q$ 称为命题的**结论**。

### **命题** 下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 1. 若平行四边形对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形 2. 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 3. 若 $x^2 - 4x + 3 = 0$，则 $x = 1$ 4. 若平面内两条直线 $a$ 和 $b$ 均垂直于直线 $l$，则 $a \mathop{//}b$

### **充分条件与必要条件** 一般地，“若 $p$，则 $q$”为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得到 $q$。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作 $$p \Rightarrow q$$ 并且说，$p$ 是 $q$ 的**充分条件**（sufficient condition），$q$ 是 $p$ 的**必要条件**（necessary condition）。

### **充分条件与必要条件** 如果“若 $p$，则 $q$”为假命题，那么由 $p$ 不可以推出结论 $q$，记作 $$p \nRightarrow q$$ 此时，我们说 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

### **充分条件与必要条件** 当我们在使用“充分”与“必要”两个词时，我们在形容什么？

### **充分条件与必要条件** 当我们在使用“充分”与“必要”两个词时，我们在形容什么？ *Sufficient* comes from a Latin verb meaning “to meet the need.” 当我们说 $p$ 是 $q$ 的充分条件，意思是：若 $p$ 为真，则 $q$ 必定为真。换句话说，不会存在 $p$ 为真而 $q$ 为假的情况。$p$ 为真满足了 $q$ 为真的需要。或者我们知道 $p$ 成立，那么我们可以“充分”认为 $q$ 成立。

### **充分条件与必要条件** 当我们在使用“充分”与“必要”两个词时，我们在形容什么？ 当我们说 $q$ 是 $p$ 的必要条件，意思是：若 $q$ 为假，则 $p$ 必也不能成立。要想获得 $p$，必先获得 $q$。所以，$q$ 对于 $p$ 成立是必要的。

### **判断方法** 如何判断 $p$ 是否为 $q$ 的充分条件或者必要条件？ + 从定义出发，将命题写成“若 $p$，则 $q$”的形式，判断该命题是否为真命题。

### **判断方法** 如何判断 $p$ 是否为 $q$ 的充分条件或者必要条件？ + 从定义出发，将命题写成“若 $p$，则 $q$”的形式，判断该命题是否为真命题。 + 从集合的角度出发，满足条件 $p$ 构成的集合为 $A$，满足条件 $q$ 构成的集合为 $B$，若 $A \subseteq B$，则 $p \Rightarrow q$ 为真。

### **例题** 下列“若 $p$，则 $q$”形式的命题，哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件？ 1. 若四边形的两组对角相等，则这个四边形是平行四边形 2. 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似 3. 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 4. 若 $x^2 = 1$，则 $x = 1$ 5. 若 $a = b$，则 $ac = bc$ 6. 若 $x, y \in \complement_{\mathbb{R}} \mathbb{Q}$，则 $xy \in \complement_{\mathbb{R}} \mathbb{Q}$

### **判定定理与充分条件** “四边形的两组对角相等”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件是唯一的么？ 当我们说 $p$ 是 $q$ 的充分条件，由 $p$ 可以推出 $q$，但并不意味着只能由这个条件 $p$ 才能推出结论 $q$。一般来说，对给定结论 $q$，使得 $q$ 成立的条件 $p$ **不是唯一**的。 一般地，数学中每一条**判定定理**都给出了相应数学结论成立的一个**充分条件**。

### **例题** 下列“若 $p$，则 $q$”形式的命题，哪些命题中的 $q$ 是 $p$ 的必要条件？ 1. 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 2. 若这两个三角形相似，则这两个三角形三边成比例 3. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形 4. 若 $x = 1$，则 $x^2 = 1$ 5. 若 $ac = bc$，则 $a = b$ 6. 若 $xy \in \complement_{\mathbb{R}} \mathbb{Q}$，则 $x, y \in \complement_{\mathbb{R}} \mathbb{Q}$

### **性质定理与必要条件** “四边形的两组对角相等”是“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件是唯一的么？ 当我们说 $q$ 是 $p$ 的必要条件，由 $p$ 可以推出 $q$，但并不意味着这个条件 $p$ 只能推出结论 $q$。一般来说，对给定条件 $p$，可以推出的结论 $q$ **不是唯一**的。 一般地，数学中每一条**性质定理**都给出了相应数学结论成立的一个**必要条件**。

### **课堂练习** 1. 使 $x > 3$ 成立的一个充分条件是： A. $x > 4$　　B. $x > 0$　　C. $x > 2$　　D. $x < 2$ 2. $a < 0, b < 0$ 成立的一个必要条件为： A. $ab > 1$　　B. $ab < -1$　 C. $a + b < 0$　　D. $a - b > 0$

### **课堂练习** 1. 使 $x > 3$ 成立的一个充分条件是： <font color="red">A. $x > 4$ </font>　　B. $x > 0$　　C. $x > 2$　　D. $x < 2$ 2. $a < 0, b < 0$ 成立的一个必要条件为： A. $ab > 1$　　B. $ab < -1$　 <font color="red"> C. $a + b < 0$ </font> 　　D. $a - b > 0$

### **课堂练习** 3. 已知条件 $p : x^2 + x - 6 = 0$，条件 $q : ax + 1 = 0\ (a \neq 0)$。若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，则 $a$ 的取值可以是？ A. $\frac{1}{2}$　　B. $\frac{1}{3}$　 C. $-\frac{1}{2}$　　D. $-\frac{1}{3}$

### **课堂练习** 3. 已知条件 $p : x^2 + x - 6 = 0$，条件 $q : ax + 1 = 0\ (a \neq 0)$。若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，则 $a$ 的取值可以是？ A. $\frac{1}{2}$　<font color="red"> 　B. $\frac{1}{3}$</font>　 <font color="red">C. $-\frac{1}{2}$　</font>　D. $-\frac{1}{3}$

### **课堂练习** 4. 集合 $A = \\{x \mid 2 < x < 3a + 1\\}$，$B = \\{x \mid a < x < a + 2\\}$。记 $p : x \in A$，$q : x \in B$，若 $q$ 是 $p$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围？

### **回顾** + 命题的定义 + 充分条件与必要条件的定义 + 真假命题的判断 + 充分条件与判定定理 + 必要条件与性质定理

### **思考题** $m, n \in \mathbb{N}^{*}$，条件 $p : m + n > mn$，条件 $q : m = 1$ 或 $n = 1$。问条件 $p$ 是否为条件 $q$ 的充分条件或者必要条件？

### **思考题** $m, n \in \mathbb{N}^{*}$，条件 $p : m + n > mn$，条件 $q : m = 1$ 或 $n = 1$。问条件 $p$ 是否为条件 $q$ 的充分条件或者必要条件？ **思考：** + 若条件 $p$ 是条件 $q$ 的充分条件，则有 $p \Rightarrow q$。 + 若条件 $p$ 是条件 $q$ 的必要条件，则有 $q \Rightarrow p$。 本质上需要判断命题 $p \Rightarrow q$ 是否为真命题，命题 $q \Rightarrow p$ 是否为真命题？

### **思考题** $m, n \in \mathbb{N}^{*}$，条件 $p : m + n > mn$，条件 $q : m = 1$ 或 $n = 1$。 **解：** 若条件 $p$ 是条件 $q$ 的必要条件，则有 $q \Rightarrow p$。因为 $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $m = 1$ 或 $n = 1$，则不妨设 $m = 1$，有 $m + n = 1 + n > 1 \cdot n = mn$。故 $q \Rightarrow p$ 为真命题，条件 $p$ 是条件 $q$ 的必要条件。

### **思考题** $m, n \in \mathbb{N}^{*}$，条件 $p : m + n > mn$，条件 $q : m = 1$ 或 $n = 1$。 **解：** 若条件 $p$ 是条件 $q$ 的充分条件，则有 $p \Rightarrow q$。 $$m + n > mn \Leftrightarrow mn - (m + n) < 0 $$ $$ mn - (m + n) + 1 < 1 \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1) < 1$$

### **思考题** $m, n \in \mathbb{N}^{*}$，条件 $p : m + n > mn$，条件 $q : m = 1$ 或 $n = 1$。 **解：** $m - 1 \in \mathbb{N}$，$n - 1 \in \mathbb{N}$，$(m - 1)(n - 1) \in \mathbb{N}$，$(m - 1)(n - 1) = 0$，$m - 1 = 0$ 或 $n - 1 = 0$。 故 $m = 1$ 或 $n = 1$，$p \Rightarrow q$ 为真命题，条件 $p$ 是条件 $q$ 的充分条件。

### **§1.4.2 充分必要条件**

### **背景** + 原命题：$p \Rightarrow q$ + 逆命题：

### **背景** + 原命题：$p \Rightarrow q$ + 逆命题：$q \Rightarrow p$

### **思考** 下列“若 $p$，则 $q$”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1. 若两个三角形的两角和其中一角所对应的边分别相等，则这两个三角形全等。 2. 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。 3. 若一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $ac < 0$。 4. 若 $A \cup B$ 是空集，则 $A, B = \varnothing$。

### **充分必要条件** 如果“若 $p$，则 $q$”是真命题，它的逆命题“若 $q$，则 $p$”是真命题。即有 $p \Rightarrow q$，$q \Rightarrow p$，就记作： $$p \Leftrightarrow q$$ 此时，$p$ 既是 $q$ 的充分条件，也是 $q$ 的必要条件。我们说 $p$ 是 $q$ 的**充分必要条件**，简称为**充要条件**。

### **充分必要条件** 类似的，如果“若 $p$，则 $q$”是真命题，它的逆命题“若 $q$，则 $p$”是假命题。即有 $p \Rightarrow q$，$q \not\Rightarrow p$， 此时，$p$ 是 $q$ 的<font color="red"> 充分不必要条件</font>，$q$ 是 $p$ 的<font color="red"> 必要不充分条件</font>。

### **例题** 下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件？ 1. $p$：四边形是正方形，$q$：四边形的对角线互相垂直且平分 2. $p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形三边成比例 3. $p : xy > 0$，$q : x > 0, y > 0$ 4. $p : x = 1$ 是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一个根，$q : a + b + c = 0\ (a \neq 0)$

### **思考** 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

### **思考** 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ + 两组对边分别平行 + 两组对角分别相等 + 两组对边分别相等 + 一组对边平行且相等 + 对角线互相平分

### **思考** **平行四边形的定义：** > 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 我们可以根据其他充要条件给出平行四边形的其他定义形式。 类似的，我们可以给出“三角形全等”、“三角形相似”的其他定义形式。

### **课堂练习** 判断下列命题的真假： 1. 点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离大于圆的半径是点 $P$ 在 $\odot O$ 外的充要条件。 2. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件。

### **课堂练习** 判断下列命题的真假： 3. $A \cup B = A$ 是 $B \subseteq A$ 的必要不充分条件。 4. $x$ 或 $y$ 为有理数是 $xy$ 为有理数的既不充分也不必要条件。

### **课堂练习** 4. 已知：$\odot O$ 的半径为 $r$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$。求证：$d = r$ 是直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切的充要条件。 5. 设 $a, b, c \in \mathbb{R}$，证明：$a = b = c$ 是 $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$ 的充要条件。

### **判断方法** + 从定义出发，证明原命题和逆命题都是真命题。 + 从集合的角度出发，满足条件 $p$ 构成的集合为 $A$，满足条件 $q$ 构成的集合为 $B$，若 $A \subseteq B$，$B \subseteq A$，则 $p \Leftrightarrow q$ 为真。

### **总结** + 充要条件的定义 + 判断充要条件的方法 + 充要条件与定义的关系

### **总结** 条件 $p : A = \\{x \mid p(x) \text{ 成立}\\}$ 条件 $q : B = \\{x \mid q(x) \text{ 成立}\\}$

### **总结** | $p, q$ 的关系 | $p$ 是 $q$ 的 | $A$ 与 $B$ 的关系 | | --- | --- | --- | | $p \Leftrightarrow q$ | 充要条件 | $A = B$ | | $p \Rightarrow q$，$q \nRightarrow p$ | | | | $q \Rightarrow p$，$p \nRightarrow q$ | | | | $p \nRightarrow q$，$q \nRightarrow p$ | | |

### **总结** | $p, q$ 的关系 | $p$ 是 $q$ 的 | $A$ 与 $B$ 的关系 | | --- | --- | --- | | $p \Leftrightarrow q$ | 充要条件 | $A = B$ | | $p \Rightarrow q$，$q \nRightarrow p$ | 充分不必要条件 | $A \subsetneq B$ | | $q \Rightarrow p$，$p \nRightarrow q$ | 必要不充分条件 | $B \subsetneq A$ | | $p \nRightarrow q$，$q \nRightarrow p$ | 既不充分也不必要条件 | $A$ 与 $B$ 互不包含 |

### **思考** 求证：$p :$ 方程 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 = 0$ 两个根均大于 $1$ 的充要条件是 $q : k < -2$。

### **思考** 设 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边，且 $a \leqslant b \leqslant c$。$a^2 + b^2 = c^2$ 是 $\triangle ABC$ 为直角三角形的充要条件。 利用边长 $a, b, c$ 分别给出 $\triangle ABC$ 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明。