## **第一章** ## **集合** ### **$\S 1.2$ 集合间的基本关系** ### 王瑞 ### 合肥六中

### **$\S 1.2$ 集合间的基本关系**

### **背景** 两个实数之间有大小关系，相等关系。例如： $$5 = 5$$ $$5 < 7$$ $$5 > 3$$

### **背景** 两个实数之间有大小关系，相等关系。例如： $$5 = 5$$ $$5 < 7$$ $$5 > 3$$ **两个集合之间是否也有类似关系呢？**

### **背景** 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ 1. $A = \\{1, 2, 3\\}$，$B = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$ 2. $C$ 为高一全体女生组成的集合，$D$ 为我们班全体学生组成的集合 3. $E = \\{x \mid x\text{是有两条边相等的三角形}\\}$，$F = \\{x \mid x\text{是等腰三角形}\\}$

### **子集** 一般地，对于两个集合 $A, B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，就称集合 $A$ 为集合 $B$ 的**子集**（subset），记作 $$A \subseteq B \quad (B \supseteq A)$$

### **子集** 一般地，对于两个集合 $A, B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，就称集合 $A$ 为集合 $B$ 的**子集**（subset），记作 $$A \subseteq B \quad (B \supseteq A)$$ 读作“$A$ <font color="red">包含于</font> $B$”（或“$B$ <font color="red">包含</font> $A$”），哪个集合“大”，开口就朝向谁。

Venn 图

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图，这种图是英国数学家 John Venn 发明的。

上述集合 $A$ 与集合 $B$ 的包含关系如图 1.2-1 所示：

### **集合相等** 一般地，如果集合 $A$ 的任何一个元素都是集合 $B$ 的元素，同时集合 $B$ 的任何一个元素都是集合 $A$ 的元素，那么集合 $A$ 与集合 $B$ 相等，记作 $A = B$。

### **集合相等** $$\text{若 } A \subseteq B \text{ 且 } B \subseteq A \text{，则 } A = B$$

### **集合相等** $$\text{若 } A \subseteq B \text{ 且 } B \subseteq A \text{，则 } A = B$$ 与实数中的结论“若 $a \ge b$ 且 $b \ge a$，则 $a = b$”相类比，有什么发现？

### **真子集和空集** 如果集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的**真子集**（proper subset），记作 $$A \subsetneqq B \quad (\text{或 } B \supsetneqq A)$$

### **真子集和空集** 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做**空集**（empty set），记为 $\varnothing$，并规定：空集是任何集合的子集。 > 试举出几个空集的例子？

### **推论** 1. 任何集合也是它本身的子集，即 $A \subseteq A$ 2. 对于集合 $A, B, C$，如果 $A \subseteq B$，$B \subseteq C$，那么 $A \subseteq C$

### **推论** **推论 2 的证明：** **证明：** 任取 $x \in A$，因为 $A \subseteq B$，所以 $x \in B$；又 $B \subseteq C$，所以 $x \in C$，所以 $A \subseteq C$。

### **课堂练习** 1. 写出集合 $\\{a, b\\}$ 的所有子集

### **课堂练习** 2. 集合 $\\{1, 2, 3, \cdots, n\\}$，$n \in \mathbb{N}^{*}$ 的所有子集一共有多少个？

### **课堂练习** 3. 在平面直角坐标系中，集合 $C = \\{(x, y) \mid y = x\\}$ 表示直线 $y = x$，从这个角度看，集合 $D = \\{(x, y) \mid 2x - y = 1,\ x + 4y = 5\\}$ 表示什么？集合 $C, D$ 之间有什么关系？

### **课堂练习** 4. $a, b \in \mathbb{R}$，$P = \\{1, a\\}$，$Q = \\{-1, -b\\}$，若 $P = Q$，求 $a - b$

### **课堂练习** 5. $A = \\{x \mid 0 < x < a\\}$，$B = \\{x \mid 1 < x < 2\\}$，若 $B \subseteq A$，求 $a$ 的取值范围

### **课堂练习** 5. 变式 $A = \\{x \mid 0 < x < a\\}$，$B = \\{x \mid 1 < x < 2\\}$，若 $A \subseteq B$，求 $a$ 的取值范围

### **思考** 1. 有集合 $S = \\{a_1, a_2, a_3, a_4\\}$，若集合 $S$ 的所有非空子集的元素之和是 $40$，则 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = ?$

### **思考** 2. 已知集合 $A = \\{x \mid x = 3a + 5b,\ a, b \in \mathbb{Z}\\}$，$B = \\{y \mid y = 7m + 10n,\ m, n \in \mathbb{Z}\\}$，证明 $A = B$

### **回顾** #### **集合间的基本关系** + **包含** + **子集** + **真子集** + **相等**