## **第一章** ## **集合** ### **$\S 1.1 $ 集合的概念与表示** ### 王瑞 ### 合肥六中

### $\S 1.1 $ **集合的概念与表示**

### **发明人** * **康托尔 (Cantor)** ，出生于俄国的德国数学家，创立了现代集合论。 + **戴德金 (Dedekind)** ，德国数学家，现代集合论的先驱，最重要的贡献是通过戴德金分割概念定义实数。

### **发明人** 现代集合论的研究开始于 1870 年代由康托尔及理察·戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的。 1873 年 12 月 7 日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天也因此成为了集合论的诞生日。1874 年，康托尔将他的发现系统性的整理成论文并发表。

### **例子** 1. 1 ∼ 10 之间的所有偶数 2. 合肥六中 2026 年入学的全体高一学生 3. 所有的正方形 4. 到直线 $l$ 距离等于定长 $d$ 的所有点 5. 方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的所有实数根 6. 地球上的四大洋

### **集合的概念** 一般地，我们把研究对象统称为**元素**（element），把一些元素组成的总体叫做**集合**（set）（简称为集）。

### **集合的概念** 一般地，我们把研究对象统称为**元素**（element），把一些元素组成的总体叫做**集合**（set）（简称为集）。 集合里的元素可以是任何类型的数学对象：数字、函数、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。

### **集合的概念** 集合的性质 + 给定的集合，元素必须是**确定的**。反过来说，某个概念不能确定元素则不构成集合。 + 一个给定集合中的元素是**互不相同**的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 + 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是**相等的**。

### **集合的符号表示** 我们通常用大写拉丁字母 $A, B, C \cdots$ 表示集合， 用小写拉丁字母 $a, b, c \cdots$ 表示集合中的元素。

### **集合的符号表示** 如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ **属于**（belong to）集合 $A$，记作 $a \in A$； 如果 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素，就说 $a$ **不属于**（not belong to）集合 $A$，记作 $a \notin A$。

### **一些常用数集及其记法** | 名称 | 记法 | | --- | --- | | 非负整数集（自然数集） | $\mathbb{N}$ | | 正整数集 | $\mathbb{N}^{*}$ 或 $\mathbb{N}_{+}$ | | 整数集 | $\mathbb{Z}$ | | 有理数集 | $\mathbb{Q}$ | | 实数集 | $\mathbb{R}$ |

### **集合的表示方法 —— 列举法** 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法叫做**列举法**。

### **集合的表示方法 —— 列举法** **例 1** 用列举法表示下列集合： (1) 小于 10 的所有自然数组成的集合 (2) 方程 $x^2 = x$ 的所有实数根组成的集合

### **集合的表示方法 —— 列举法** **例 1** **解：** (1) 设小于 10 的所有自然数组成的集合为 $A$，那么 $$A = \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}$$ (2) 设方程 $x^2 = x$ 的所有实数根组成的集合为 $B$，那么 $$B = \\{0, 1\\}$$

### **集合的表示方法 —— 描述法** 一般地，设 $A$ 是一个集合，我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P(x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为 $$\\{x \in A \mid P(x)\\}$$ 这种表示集合的方法称为**描述法**。

### **集合的表示方法 —— 描述法** $$\\{x \in A \mid P(x)\\}$$ > 你能用这样的方法表示奇数、偶数集及有理数集吗？

### **用描述法表示数集** **偶数集：** $$\\{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2k,\ k \in \mathbb{Z}\\}$$

### **用描述法表示数集** **奇数集：** $$\\{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2k + 1,\ k \in \mathbb{Z}\\}$$

### **用描述法表示数集** **有理数集 $\mathbb{Q}$：** $$\\{x \in \mathbb{R} \mid x = \frac{q}{p},\ p, q \in \mathbb{Z},\ p \neq 0\\}$$

### **课堂练习** 用适当的方法表示下列集合： （1）由方程 $x^2 - 9 = 0$ 的所有实数根组成的集合 （2）一次函数 $y = x + 3$ 与 $y = -2x + 6$ 图象的交点组成的集合 （3）不等式 $4x - 5 \le 3$ 的解集

### **回顾** + 集合中的元素具有哪些性质？ + 元素与集合有哪些关系？ + 描述集合有哪些方法？

### **集合论发明的背景** **“无穷”之间也有大小之分么？** 几个经典的命题： + 偶数和整数一样多么？ + 整数和有理数一样多么？ + 有理数和实数一样多么？